一元二次不等式的解法讲义

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1、一元二次不等式的解法教学目标：（1）理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的图像的关系；掌握一元二次不等式的解法；知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；会解简单的分式不等式；（2）了解命题的概念，会判断简单命题的真假；了解复合命题的概念，理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；会准确判定含有“或”、“且”、“非”的复合命题的构成形式及复合命题的真假。二.重点、难点：重点：（1）一元二次不等式的解法；（2）判断复合命题的真假。难点：（1）一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；（2）含有字母参数的一元二次不等式的解法；（3）对“

2、或”的含义的理解。能力要求：（1）通过对一元二次不等式解法的学习，培养学生的逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力、运算能力，并渗透转化和数形结合的思想；（2）通过对逻辑联结词的学习，提高学生使用数学语言表达问题，进行交流的能力，提高学生分析、综合能力和逻辑推理能力。学法指导：在学习“一元二次不等式解法”这一节时，注意运用数形结合、函数与方程，化归的数学思想；【例题分析】例1.解下列不等式：分析：解一元二次不等式的步骤是：1°，把二次项系数化为正数；2°，解对应的一元二次方程；3°，根据方程的根，结合不等号方向，得出不等式的解集。解：7例2.解不等

3、式分析：以上不等式的特点是不等号的右边为0，左边是两个因式的积或商，我们可以根据乘积或商的符号法则将其转化为不等式组求解。对于分式不等式，也可通过等价变形化为整式不等式求解。解：(1)（解法1）原不等式可化为解法2：且x2的系数3>0（2）解法1：解法2：7说明：在第(3)小题中，由于这个不等式的分母总大于0，所以使解不等式的方法和步骤大大简化，这是解不等式时很值得观察之处。，我们很容易接受以下事实：自变量x在R中取值的多项式函数y=(x－x1)(x－x2)……(x－xn)，它的图象在经过它与x轴的交点时，y的值改变符号。不妨设x1

4、…0（或<0）的解集。∴让图象从点(－2，0)的左下方开始，然后折回延长线依次穿过（1，0），（3，0）点，最后曲线向右上方延伸（如图）。此不等式与(x＋3)(x＋1)(x－2)(x－4)>0的解集相同，y＝(x＋3)(x＋1)(x－2)(x－4)与x轴交点横坐标为－3，－1，2，4。∴从点(－3，0)的左上方起，依照前面所述方法画一曲线顺次通过(－3，0)，(－1，0

5、)，（2，0），（4，0）四点。（如图）7根据图像原不等式的解集为用这种数形结合方法解（或<0）型不等式和可转化为它的分式不等式是比较方便的，这种方法又叫标根穿线法。【模拟试题】一.选择题：1.下列不等式中，解集是R的不等式是（）A.B.C.D.2.集合，，则的子集个数为（）A.16B.8C.15D.73.全集，则（）A.B.C.D.4.不等式的解集是，则（）A.10B.C.14D.二.填空题：5.不等式的解集是_________。6.如果不等式对一切实数x恒成立，则实数m的范围是_____7.有意义，则x的取值范围是____________。8.

6、有下列四个命题：（1）空集是任何集合的真子集；（2）“方程的解是”中使用了逻辑联结词“或”；（3）单元素集不是空集；（47）一个数不是合数就是质数。其中真命题是__________________。（填上所有满足题意的序号）三.解答题：9.解不等式10.解不等式11.解关于x的不等式：7【试题答案】一.选择题：1.D2.A注意：，易求得，它的子集有个3.C注意：，可先求出，再求在U中的补集。4.D提示：是方程的两个根，利用韦达定理，可求得a的值为－12，b的值是－2，5.A提示：先判断p、q的真假，再利用真值表判断。6.B提示：可利用排除法或真值表

7、推导。二.填空题：7.注意：，且x的系数为负。8.提示：先移项、通分，化为的形式，注意到分母恒成立，所以原不等式的解集与的解集相同。9.提示：利用二次根式有意义的条件列不等式，再解之。10.（2）、（3）三.解答题：11.（1）“p或q”：2是偶数或3是奇数，真命题。“p且q”：2是偶数且3是奇数，真命题。“非p”：2不是偶数，假命题。（2）“p或q”：不等式的解集都是无限集或都是有限集，假命题。“p且q”：不等式的解集都是无限集且都是有限集，假命题。“非p”：不等式的解集不都是无限集，真命题。12.（1）“p且q”，p：梯形的中位线平行于两底，q

8、：梯形的中位线等于两底和的一半。（2）“非p”，p：的值超过2。（3）“p或q”，p：明天是阴天，q：明天有小雨。13.解