高中数学直线与方程习题及解析

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1、直线与方程1．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．解　设P(x,0)，则kPA＝＝－，kPB＝＝，依题意，由光的反射定律得kPA＝－kPB，即＝，解得x＝2，即P(2,0)．2．△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率．解　如右图，由题意知∠BAO＝∠OAC＝30°，∴直线AB的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC的倾斜角为30°，∴kAB＝tan150°＝－，kAC＝tan30°＝.3．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，a

2、>b>c>0，试比较，，的大小．解　画出函数的草图如图，可视为过原点直线的斜率．由图象可知：>>.4．(1)已知四点A(5,3)，B(10,6)，C(3，－4)，D(－6,11)，求证：AB⊥CD.(2)已知直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)且l1⊥l2，求实数a的值．(1)证明　由斜率公式得：kAB＝＝，kCD＝＝－，则kAB·kCD＝－1，∴AB⊥CD.(2)解　∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即×＝－1，解得a＝1或a＝3.5.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)、

3、P(1，t)、Q(1－2t,2＋t)、R(－2t,2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状．3直线与方程解　由斜率公式得kOP＝＝t，kQR＝＝＝t，kOR＝＝－，kPQ＝＝＝－.∴kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ.∴四边形OPQR为平行四边形．又kOP·kOR＝－1，∴OP⊥OR，故四边形OPQR为矩形．6．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．解　∵四边形ABCD是直角梯形，∴有2种情形：(1)AB∥CD，AB⊥AD，由图可知：A(2，－1

4、)．(2)AD∥BC，AD⊥AB，⇒∴.综上或.7．已知直线l1与l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0.直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且d1∶d2＝1∶2，求直线l的方程．解　因为直线l平行l1，设直线l的方程为7x＋8y＋C＝0，则d1＝，d2＝.又2d1＝d2，∴2

5、C－9

6、＝

7、C＋3

8、.解得C＝21或C＝5.故所求直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝08．△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且

9、AB

10、2＝

11、AD

12、2＋

13、BD

14、·

15、DC

16、.求证：△ABC为等腰三角形．证明

17、　作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系(如右图所示)．设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)．因为

18、AB

19、2＝

20、AD

21、2＋

22、BD

23、·

24、DC

25、，所以，由距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c.所以

26、AB

27、＝

28、AC

29、，即△ABC为等腰三角形．9．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，3直线与方程求反射光线与直线l的交点坐标．解　设原点关

30、于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得，解得，∴A的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.由方程组，解得，∴反射光线与直线l的交点坐标为.3