随机误差的正态分布15节

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1、§2随机误差的正态分布一、频率分布相同条件下，测定某试样中Ni%(n=90)，结果如下：1.601.671.671.641.581.641.671.621.571.601.591.641.741.651.641.611.651.691.641.631.651.701.631.621.701.651.681.661.691.701.701.631.671.701.701.631.571.591.621.601.531.561.581.601.581.591.611.621.551.521.491.561.571.611.611.611.501.531.531.591.661.631.54

2、1.661.641.641.641.621.621.651.601.631.621.611.651.611.641.631.541.611.601.641.651.591.581.591.601.671.681.69①确定组数：分为9组；②计算平均值：1.62%；③计算极差：R=1.74％－1.49％=0.25％；④计算组距：△x=0.25％/9≈0.03％，确定每组的组界值；数据1.52应进入哪一组？⑤统计测定值落在每组内的个数（频数）；⑥计算测定值出现在组内的频率（相对频数，即频数与样本容量之比）。分组（%）频数频率(相对频数)1.485～1.51520.0221.515～1.54

3、560.0671.545～1.57560.0671.575～1.605170.1891.605～1.635220.2441.635～1.665200.2221.665～1.695100.1111.695～1.72560.0671.725～1.75510.011∑901.000⑦作频率分布直方图。测定值的分布具有规律性：平均值(1.62％)所在的组具有最大的频率，位于它两侧的组其频率次之，距离它越远的组其频率越小。类似峰状的图形显示了测定值既具有分散性又具有集中趋势的分布特性。二、正态分布(高斯分布)y—测定次数趋于无限时，测定值xi出现的概率密度；μ—总体平均值；σ—总体标准偏差。(一

4、)正态分布曲线的数学表达式(高斯方程)：图4-5正态分布曲线(二)正态分布曲线的讨论1.测定值服从正态分布(1)曲线有最高点(所对应的横坐标为μ)，说明总体平均值μ是出现概率最大的值；(2)曲线在横坐标上的位置取决于μ的数值；(3)曲线的形状取决于σ的数值：ⅰ.σ较小，曲线较陡峭、峰高而尖，表明测定值较集中，精密度较高；ⅱ.σ较大，曲线较平坦，峰矮而平，表明测定值较分散，精密度较低。正态分布曲线的位置和形状取决于μ和σ，因此μ和σ是正态分布曲线的两个基本参数，这种正态分布用N(μ，σ2)表示。2.随机误差服从正态分布特点和规律：（1）对称性：绝对值大小相等的正负误差出现的概率相等，可能

5、部分或完全相互抵消；（2）单峰性：曲线最高点对应的横坐标(x－μ)值等于零，表明随机误差为零的测定值出现的概率密度最大；（3）有界性：一般认为，误差大于的测定值并非由随机误差所引起。3.标准正态分布将正态分布曲线的横坐标用标准正态变量u表示：代入正态分布概率密度函数式，得：而dx=σdu曲线拐点的横坐标值为，故σ2=1，而μ=0，故曲线的形状与μ、σ的大小无关。标准正态分布，以N（0，1）表示。标准正态分布函数：图4-6标准正态分布曲线三、随机误差的区间概率正态分布曲线与横坐标之间所夹的总面积，等于概率密度函数y从－∞→＋∞的积分值。表示来自同一总体的全部测定值或随机误差在－∞→＋∞区

6、间出现的概率(P)总和为100％，即为1。欲求测定值或随机误差在某区间出现的概率(P)，可取不同u值对上式进行积分。随机误差出现的区间测定值出现的区间概率(P)u=±1x=μ±σ0.3413×2=0.6826u=±2x=μ±2σ0.4773×2=0.9546u=±3x=μ±3σ0.4987×2=0.9974正态分布概率积分表也可由概率确定误差界限：如要保证测定值出现的概率为0.95，则随机误差的界限应为±1.96σ。实际工作中可查p88表4-2(正态分布概率积分表)，表中的值为单边积分值。例1：在消除系统误差的前提下，测得某样品中磷的质量分数为0.099%，已知σ=0.002%，问测定

7、值落在0.095%～0.103%的概率是多少？问：测定值小于0.095%的概率是多少？解：根据，查p88表4-2，得P=0.4773P(0.095%～0.103%)=0.4773×2=0.955例2：对烧结矿试样进行150次全铁含量分析，已知结果符合正态分布（0.4695，0.00202）。求大于0.4735的测定值可能出现的次数？解：根据故在150次测定值中大于0.4735的测定值出现的概率为：0.5000-0.4773=0.0227因此可能