电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理(I)

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1、FieldandWaveElectromagnetic电磁场与电磁波2014.3.3Review1.TransformofCoordinateSystems2.IntegralsContainingVectorFunctions2Maintopic1.标量场的梯度2.矢量场的散度3.散度定理31.标量场的梯度现在介绍在给定时间情况下描述标量场的空间变化率的方法.在不同方向上的变化率可能不同,所以需要一个矢量来定义给定点和给定时间上标量场的变化率,由此引入梯度的概念.4方向导数标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的

2、变化率。51)Directionalderivativedv/dl2)Gradient(dv/dn)an标量的梯度定义为一矢量,其大小为标量的空间最大变化率,其方向为标量增加率最大的方向.6Wewritecustomary沿dl的方向导数为:上式表明V在al方向上的空间增长率等于V的梯度在该方向上的投影(分量).73)TheexpressionofgradientVincoordinates8InCartesiancoordinatesItisconvenienttoconsiderinCartesiancoordinates

3、asavectordifferentialoperator.Butthisisnotdefinitioninothercoordinate.9球坐标系圆柱坐标系梯度运算符合以下规则：C为常数10Example2-16(P45)11例3设标量=xy2+yz3,矢量试求标量函数在点（2，-1，1）处沿矢量A的方向上的方向导数。解已知梯度那么，在点（2，-1，1）处的梯度为因此，标量函数在点（2，-1，1）处沿矢量A的方向上的方向导数为12例场点P(x,y,z)y源点P’(x’,y’,z’)zxO计算解同理可得132.矢量场

4、的散度AB通量线或流线来描述Vectorfield电力线thefluxofavector14如：真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量q与真空介电常数0之比：高斯定理闭合曲面内的电量为正、负、零时的通量······根据矢量通过某一闭合面的通量性质可以判断闭合曲面中源的正负特性，以及存在与否。通量仅能表示闭合曲面中源的总量，它不能显示源的分布特性，如何显示源的特性呢？？？5C5C3C4C-2C151)散度(Divergence)矢量场A中某点的散度定义为包围该点的体积趋于零时,单位体积中流出

5、A的净流散通量,缩写为divA:Thenumerator,representingthenetoutwardflux,isanintegralovertheentiresurfaceSthatboundsthevolume.EquationisthegeneraldefinitionofdivAwhichisascalarquantitywhosemagnitudemayvaryfrompointtopointasAitselfvaries.Thedefinitionholdsforanycoordinatesystem.16

6、源and汇thenetoutwardflow172)TheexpressionofdivergenceAincoordinates直角坐标系18柱坐标系球坐标系散度运算规则19Example2-17(P49-50)203.散度定理(DivergenceTheorem)矢量场的散度定义为每单位体积流出的净通量.直观地认为矢量场的散度的体积分等于该矢量包围该体积封闭面流出的总通量,即:Thisidentityiscalledthedivergencetheorem.Itapplies(适用)toanyvolumeVthatisbo

7、undedbysurfaceS.ThedirectionofdSisalwaysthatoftheoutwardnormal,perpendiculartothesurfacedSanddirectedawayfromthevolume.21Example2-19(P52)2223例已知判断散度定理是否适用于图中所示的壳层区域。壳层的封闭面是以原点为中心而半径分别为R=R1和R=R2（R2>R1）的两个球面。解在外表面上：在内表面上：R2R124summary1.GradientofaScalarField2.Divergen

8、ceofaVectorField3.DivergenceTheorem25homeworkThankyou!Bye-bye!答疑安排时间：地点：1401，1411P.2-23,2-2926