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《散度,旋度,梯度》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、散度 散度（divergence）的概念： 在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·dS/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作divF 由散度的定义可知，divF表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以divF描述了通量源的密度。 divF=▽·F 气象学： 散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的
2、消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。 微积分学→多元微积分→多元函数积分： 设某量场由A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x.y,z)j+R(x,y,z)k给出，其中P、Q、R具有一阶连续偏导数，Σ是场内一有向曲面，n是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量，则∫∫A·ndS叫做向量场A通过曲面Σ向着指定侧的通量，而δP/δx+δQ/δy+δR/δz叫做向量场A的散度，记作divA，即divA=δP/δx+δQ/δy+δR/δz。上述式子中的δ为偏微分（partialderivative）符号。梯度 gradient 设体系中某处的物理参数(如温度
3、、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。 在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。 在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。 梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程
4、度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。 在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量 (δf/x)*i+(δf/y)*j 这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y) 类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k记为grad[f(x,y,z)] 梯度的汉语词义，用法。 《现代汉语词典》附：新词新义 梯度1.坡度。 2.单位时间或单位距离内某种现象（如
5、温度、气压、密度、速度等）变化的程度。 3.依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西～推进。 4.依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化，难易有～。旋度 表示曲线、流体等旋转程度的量。定义 设有向量场 A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 在坐标轴上的投影分别为 δR/δy-δQ/δz，δP/δz-δR/δx，δQ/δx-δP/δy 的向量叫做向量场A的旋度，记作rotA或curlA，即 rotA=(δR/δy-δQ/δz)i+(δP/δz-δR/δx)j+(δQ/δx-δP/δy)k
6、式中的δ为偏微分（partialderivative）符号。 行列式记号 旋度rotA的表达式可以用行列式记号形式表示： 若A=Ax·i+Ay·j， 则rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j 若A=Ax·i+Ay·j+Az·k 则rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k 为一向量。外积 把向量外积定义为： 大小：a×b=
7、a
8、·
9、b
10、·Sin. 方向：右手定则：若坐标系是满足右手定则的，设z=x×y,z的模长=x*y*sin(x,y)则x,y,z构成
11、右手系，伸开右手手掌，四个手指从x轴正方向方向转到y轴正方面，则大拇指方向即为z正轴方向。 分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。 下面给出代数方法。我们假定已经知道了： 1）外积的反对称性： a×b=-b×a. 这由外积的定义是显然的。 2）内积（即数积、点积）的分配律： a·(b+c)=a·b+a·c, (a+b)·c=a·c+b·c. 这由内积的定义a·b=
12、a
13、·
14、b
15、·Cos，用投影的方法不难得到证明。 3）混合积的性质： 定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积
16、，容易证明： i)(a×b)·c的绝对值正是以a,
