电磁场与电磁波(散度旋度)

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1、第一章矢量分析矢量场和标量场三种常用的坐标系矢量的基本运算标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度亥姆霍兹定理内容回顾---方向导数和梯度uu(M)u(M)uuu0limcoscoscosll0lxyzuuugradu=uaaaxxyyzzlugraduallM(x+x,y+y,z+z)l000M0(x0,y0,z0)dugradudl*标量场的梯度是一个矢量场；*当al的方向与梯度方向一致时，方向导数取得最

2、大值。*标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。矢量场的散度闭合面的通量散度的定义散度的性质高斯散度定理矢量场的矢量线为描绘矢量场在空间的分布状况，引入矢量线的概念。矢量线上每一点的切线方向都代表该点的矢量场的方向。线的疏密代表场的大小。一般说来，矢量场的每一点均有唯一的一条矢量线通过，所以矢量线充满了整个矢量场所在的空间。电场中的电力线和磁场中的磁力线等，都是矢量线的例子。矢量上任一点的切向矢量线元与矢量场之间的关系？方向平行Fdl0F

3、axxFayyFazzFdlaxdxaydyazdzaaaxyz矢量AAaAaAaxxyyzzABAAAxyz矢量BBaBaBaxxyyzzBBBxyzaxayazdxdydzFdlFFF0xyzFFFxyzdxdydz求出该微分方程的通解可绘出矢量线例：设点电荷q位于坐标原点.它在周围空间任一点M(x,y,z)所产生的电场强度矢量为:qEr34r0式中,q和0都是常数;r=axx+ayy+azz是M点的位置矢径,求E的矢量线方程的通解并画出矢量线图

4、.q解:E(axayaz)aEaEaE3xyzxxyyzz4r0dxdydzyC1xxyzzC2y式中,C1和C2为任意常数，可以看出，电力线是一簇从点电荷所在点向空间发散的径向辐射线，这一簇矢量线形象地描绘出点电荷的电场分布状况。矢量场的通量将曲面的一个面元用矢量dS来表示，其方向取为面元的法线方向，其大小为dS，即dS=ndS,n是面元法线方向的单位矢量。面元通量dAdsAdscos反映矢量通过面元的量（如：水量）对于开表面,n与表面的闭合曲线构

5、成右手螺旋关系。对于闭合表面,n为外法向单位矢。矢量与n成锐角，通量为正矢量场的通量矢量的通量ΦAdSAndSSS通量的意义：通过曲面S的量（对于流速场：水流量）通量是个标量。闭合面通量Φ的物理意义矢量场的通量对于封闭曲面S，如果>0，表示净通量线从曲面S的内部穿出曲面，因为通量线一定是通量正源发出的，所以根据能量守恒原理，可以判断曲面S内必然包含发出通量线的正源。反之，如果<0，则曲面内必然包含吸收通量线的负源。如果＝0，则曲面内不包含净源。因此，通量可

6、以是封闭曲面内通量源的判据。散度(divergence)描述每一点场与源的关系定义：设有矢量场A，在场中任意一点M处作一个包含M点在内的任一闭合曲面S，S所限定的体积为V，当体积V以任意方式缩向M点时，取极限，若该极限存在，则定义为散度。AdSSdivAlimV0V散度的物理意义•矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；•散度代表场中任一点处，通量对体积的变化率，因此又可称为通量源密度。在场中任意一点M处若divA0，表明该点有发出通量线的正源。若divA0，表明该点

7、有吸收通量线的负源。若divA0，表明该点无源。divA0divA0divA0散度运算能起到验源的作用。散度在三个坐标系中的计算公式直角坐标系以点M(x,y,z)为顶点做一个平行六面体，三个边长x,y,z，六个面xx,xyy,,yzz,,z分别与三个坐标面平行，体积为Vxyz。设点M处的矢量AaAaAaAxxyyzzAzx从前后一对表面xx,x穿出的净通量AxAAxyzAyzAxx前后xxxyx

8、xoAxxxyzxAy同理AyxzAxz左右yyyAzyAyyyAyAyxyzyoyxAzAzxyAxy上下zzzAzAzAzzzzxyzz所以总净通量为oyAzxAdS前后左右上下SAAAxyzVxyz令V0，则AdSAAASxyzlimV0Vxyz故