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1、北京巧学教育内部资料86262344三角函数（图象和性质）姓名________一、正弦函数、余弦函数的图象x02y=sinxy=cosx在y=sinx,x图像中,起关键作用的有五个点.其中(0,0),（,0）（2，0）是图像与x轴的交点，（），（）是图像的最高点,最低点.在x=0,附近函数增加或下降快一些,曲线“陡”一些，在x=附近,函数、变化慢一些,曲线变“平缓”.y=sinx的图像y=cosx的图像二、正弦函数和佘弦函数的性质1.周期性:对于函数,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有那么函数就叫做周期函数
2、,非零常数叫做这个函数的周期.正弦函数和佘弦函数的周期都是2,最小正周期是2.(1)定义是对定义域中的每一个x的值来说的,只有个别的x的值满足或不满足都不能说T是的周期,如但是.(2)从等式来看,应强调是自变量x本身加常数才是周期，如T不是周期,而应写成,则的周期.(3)对周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期,如未特别指明,一般都是指它的最小正周期.(4)周期函数的周期不只一个,若T是周期,则kT(k一定也是周期.(5)在周期函数中,T是周期,若x是定义域内的一个值,则x+k
3、T(k也一定属于定义域,因此周期函数的定义域一定是无限集,而且定义域无上限或者无下限.例题:求下列函数的周期:①;②y=
4、sinx
5、的最小正周期为________;y=
6、cosx
7、的最小正周期为_______.2.(1)定义域:y=sinx的定义域为______,y=cosx的定义域为______;求函数定义域时,若需先把式子化简,一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化.求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二:一是图象，二是三角函数线.例题1：函数y=lg（cosx－sinx）的定义域是________________
8、__.例题2：已知f（x）的定义域为［0，1），f（cosx）的定义域是________________.(2)值域:y=sinx的值域为_________;y=cosx的值域为__________.3.奇偶性:正弦函数是奇函数,佘弦函数是偶函数.例题1：判断函数的奇偶性:①f(x)=
9、sinx
10、____________;②f（x）=lg（sinx+）__________.例题2：y=5sin（2x+θ）的图象关于y轴对称,则θ=__________________.4.单调性:正弦函数在每一个闭区间，（上都是增函数，其值从-1增大
11、到1,在每一个闭区间（都是减函数,其值从1减小到-1佘弦函数在每一个闭区间,（上都是增函数,其值从-1增大到1,在每一个闭区间（都是减函数,其值从1减小到-1.正弦函数当且仅当x=______________时取最大值1，当且仅当x=___________时取得最小值.余弦函数当且仅当x=_____________时取最大值1，当且仅当x=____________时取得最小值.三、正切函数的图象和性质(1)y=tanx的最小正周期为_____.(2)y=tanx的定义域为______________,值域为________.(3)y
12、=tanx是_____函数.(4)单调性:正切函数在每一个区间（上都是增函数.四、函数y=Asin(ωx+)的图象1.常用五点法:五点取法是设ωx+取0、、π、、2π来求y=Asin（ωx+）相应的x值及对应的y值,再描点作图.作函数的图象时,首先要确定函数的定义域.对于具有周期性的函数,应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象.例题：用五点法作简图①y=3sin（2x+）；②y=4cos（x-）.2.给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型:有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突
13、破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.例题1：（全国）已知函数y=tan（2x+）的图象过点（，0），则可以是（）A.－B.C.－D.例题2:若函数f（x）=sin（ωx+）的图象（部分）如下图所示,则ω和的取值是（）A.ω=1，=B.ω=1，=－C.ω=，=D.ω=，=－3.三角函数图象的变换:利用图象的变换作图象时,提倡先平移后______,但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,不是“角变化”多少.例题1：函数y=sinx－cosx的图象可由y=sin
14、x+cosx的图象向右平移_______个单位得到.例题2：试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象.例题3：（全国Ⅰ）为了得到函数y=sin（2x－）的图象,可以将函数y=cos2x的图象()A.向右平移个单位B.
