23函数的奇偶性与周期性

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1、§2.3　函数的奇偶性与周期性教学目标1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．学习内容知识梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数关于原点对称偶函数设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数关于y轴对称2.周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，

2、如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．例题讲解题型一　判断函数的奇偶性例1　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝(x＋1)；(3)f(x)＝.思维启迪　确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．解　(1)由，得x＝

3、±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}，关于原点对称．又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．(2)由，得－1

4、x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．巩固　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝.解　(1)由，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，f(x)＝＝－.∵f(－x)＝－＝－＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．故该函数为奇函数．题型二　函数周期性的应用例2　(

5、1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)等于(　　)A．335B．336C．1678D．2012(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.思维启迪　(1)f(x)的周期性已知，可以通过一个周期内函数值的变化情况求和．(2)通过题意先确定函数的周期性．答案　(1)B　(2)2.5解析　(1)利用函数的周期性和函数值的求

6、法求解．∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2005)＋f(2006)＋…＋f(2010)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)＝1×＝335.而f(2011)＋f(2012)＋f(2013)＋f(2014

7、)＋f(2015)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝1＋2－1＋0－1＝1.∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＝335＋1＝336.(2)由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)．故函数的周期为4.∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.思维升华　(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)求函数周期的方法巩固

8、　(1)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于(　　)A．－1B．1C．－2D．2(2)设f(x