数学23函数的奇偶性与周期性

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1、河北饶阳中学2014届数学一轮复习试题[来源:中_教_网z_z_s_tep]A组　专项基础训练(时间：60分钟)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·广东)下列函数为偶函数的是(　　)A．y＝sinxB．y＝x3C．y＝exD．y＝ln答案　D解析　由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数，C项为非奇非偶函数，D项为偶函数．2．(2012·天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为(　　)A．y＝cos2x，x∈RB．y＝log2

2、x

3、，x∈R且x≠0C．y＝，x∈RD．y＝x3＋1，x∈R答

4、案　B解析　选项A中函数y＝cos2x在区间上单调递减，不满足题意；选项C中的函数为奇函数；选项D中的函数为非奇非偶函数，故选B.3．(2011·辽宁)若函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　)A.B.C.D．1答案　A解析　∵f(－x)＝－f(x)，∴＝－，[来源:中#国教#育出#版网]∴(2a－1)x＝0，∴a＝.4．(2012·福州质检)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于(　　)A．－2B．2C．－98D．98答案　A解析　∵f(x＋4)＝

5、f(x)，∴f(x)是周期为4的函数，∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)，又∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－1)＝－f(1)，而当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.二、填空题(每小题5分，共15分)第6页共6页河北饶阳中学2014届数学一轮复习试题5．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．答案　－1解析　因为f(x)是偶函数，所以恒有f(－x)＝f(x)，即－x

6、(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)，化简得x(e－x＋ex)(a＋1)＝0.因为上式对任意实数x都成立，所以a＝－1.6．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝______.答案　－3解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，因此f(－x)＋f(x)＝0.当x＝0时，可得f(0)＝0，可得b＝－1，此时f(x)＝2x＋2x－1，因此f(1)＝3.又f(－1)＝－f(1)，所以f(－1)＝－3.7．(2012·江南十校联考)已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条

7、件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数，给出以下四个命题：①函数f(x)是周期函数；②函数f(x)的图象关于点对称；[来源:zzstep.com]③函数f(x)为R上的偶函数；④函数f(x)为R上的单调函数．其中真命题的序号为________．答案　①②③解析　由f(x)＝f(x＋3)⇒f(x)为周期函数，且T＝3，①为真命题；又y＝f关于(0,0)对称，y＝f向左平移个单位得y＝f(x)的图象，则y＝f(x)的图象关于点对称，②为真命题；又y＝f为奇函数，∴f＝－f，f＝－f＝－f(－x)，∴f＝－f(－x)，f(x)

8、＝f(x－3)＝－f＝f(－x)，∴f(x)为偶函数，不可能为R上第6页共6页河北饶阳中学2014届数学一轮复习试题的单调函数．所以③为真命题，④为假命题．三、解答题(共25分)8．(12分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)．(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．解　(1)当a＝0时，f(x)＝x2，f(－x)＝f(x)，函数是偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f

9、(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．[来源:中_教_网z_z_s_tep]∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f(x)＝x2＋.任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1，所以f(x1)

10、于直线x＝1对称．(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝(0