2003年数学一试题考研

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1、2003年考研数学试题（数学一）一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。把答案填在题中横线上）（1）（2）曲面与平面平行的切平面的方程是（3）设，则（4）从的基到基的过渡矩阵为（5）设二维随机变量的概率密度为则（6）已知一批零件的长度（单位：cm）服从正态分布，从中抽取16个零件，得到长度的平均值为40（cm），则的置信区间是（注：标准正态分布函数值）二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题目后的圆括号内）yOx（1）设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则有（）（A）一个极小值

2、点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点（2）设均为非负数列，且，则必有（）（A）对于任意成立.（B）对于任意成立（C）极限不存在（D）极限不存在（3）已知函数在点的某个邻域内连续，且则（）（A）点不是的极大值点（B）点是的极大值点（C）点是的极小值点（D）根据所给条件无法判断点是否为的极值点（4）设向量组可由向量组线性表示，则（）（A）当时向量组必线性相关（B）当时向量组必线性相关（C）当时向量组必线性相关（D）当时向量组必线性相关（5）设有齐次线性方程组和，其中均为矩阵，现有四个命题，①若的解均是的

3、解，则②若，则的解均是的解；③若与同解，则；④若，则与同解；以上命题中正确的是（）（A）①②（B）①③（C）②④（D）③④（6）设随机变量，则（）（A）（B）（C）（D）三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形.（1）求的面积；（2）求绕直线旋转一周所得旋转体的体积。四、（本题满分12分）将函数展开成的幂级数，并求幂级数的和.五、（本题满分10分）已知平面区域，为的正向边界，试证：（1）（2）.六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深

4、度成正比（比例系数为），汽锤每一次击打将桩打进地下，根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数，问（1）汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m表示单位米）七、（本题满分12分）设函数在内具有二阶导数，且是的反函数.（1）试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程；（2）求变换后的微分方程满足初始条件的解.八、（本题满分12分）设函数连续且恒大于零，，其中（1）讨论在区间内的单调性.（2）证明当时，九、（本题满分10分）设矩阵，求的特征值与特征向量，其中为的伴随矩阵，为3阶单位矩阵.十、（

5、本题满分8分）已知平面上三条不同的直线的方程分别为这三条直线交于一点的充分必要条件为十一、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱有三件合格产品和三件次品，乙箱中仅装有三件和各产品，从甲箱任取三件放入乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。十二、（本题满分8分）设总体的概率密度为其中是未知参数。从总体中抽取简单随机样本，记.（1）求总体的分布函数；（2）求统计量的分布函数；（3）如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性.