考研数学一试题及解析

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1、2006年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）【分析】本题为未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可.【详解】.（2）微分方程的通解是【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为，两边积分得　，整理得　　　　　　　.（）（3）设是锥面的下侧，则.【分析】本题不是封闭曲面，首先想到加一曲面：，取上侧，使构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】设：

2、，取上侧，则　　　　　.而　＝，　　.所以　.（4）点到平面的距离.【分析】本题直接利用点到平面距离公式　　　　　　　进行计算即可.　其中为点的坐标，为平面方程.【详解】.（5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则2.【分析】将矩阵方程改写为的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有于是有，而，所以.（6）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则.【分析】利用的独立性及分布计算.【详解】由题设知，具有相同的概率密度　　　　　　　　　　　　.则　.【评注】本题属几何概型，也

3、可如下计算，如下图：　　　　　　　　　　　则　.二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A).(B).(C).　　　　　(D)　.　　[Ａ]【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时，，故应选(Ａ).（8）设为连续函数，则等于（Ａ）.（B）.(C)　.

4、　　(D).[Ｃ]【分析】本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】由题设可知积分区域如右图所示，显然是型域，则　　　　　　原式.故选（Ｃ）.（9）若级数收敛，则级数(A)收敛.　　　　　　　（B）收敛.(C)收敛.　　　　　(D)收敛.[Ｄ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选(Ｄ).　　　　　或利用排除法：　　　　　取，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；　　　　　取，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确.（10）设均为可微函

5、数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若，则.(B)若，则.(C)　若，则.(D)　若，则.　　　　　　　　　[Ｄ]【分析】利用拉格朗日函数在（是对应的参数的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则，即.消去，得　　　　　　　,整理得　.（因为），若，则.故选（Ｄ）.（11）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是(A)若线性相关，则线性相关.(B)若线性相关，则线性无关.(C)若线性无关，则线性相关.(D)若线性无关，则线性无关.[C]【分

6、析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】记，则.所以，若向量组线性相关，则，从而，向量组也线性相关，故应选(Ａ).（12）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（Ａ）.　　　　　　　　　　　（Ｂ）.（Ｃ）.　　　　　　　　　　　（Ｄ）.　　　［　Ｂ　］【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得　　　　，而　，则有.故应选（Ｂ）.（13）设为随机事件，且，则必有(A)(B)(C)　　(D)[B]【分

7、析】利用事件和的运算和条件概率的概念即可.【详解】由题设，知，即.又　.故应选(Ｃ).（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且　　　　　　则必有(A)　　　　　(B)(C)　　　　　　　(D)　　　　　[D]【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】由题设可得，　　　则　，即.　　　其中是标准正态分布的分布函数.　　　又是单调不减函数，则，即.故选(A).三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设区域，计算二重积分【

8、分析】由于积分区域关于轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】积分区域如右图所示.因为区域关于轴对称，函数是变量的偶函数，函数是变量的奇函数.则　　　　　，故　.（16）（本题满分12分）设数列满足（Ⅰ）证明存在，并求该极限；（Ⅱ）计算.【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.（Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.【详解】（Ⅰ）因为，则