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《复变函数与积分变换7》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题七解答A类1．求下列函数的傅氏积分公式（1）（2）（3）解（1）函数满足傅氏积分定理的条件，傅氏积分公式为]（2）满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为（3）函数。满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为在的间断点处以代替。2．求证如果满足傅氏积分定理条件，当为奇函数时，则有其中当为偶函数时，则有其中证设是奇函数。（是的奇函数）设是偶函数是的偶函数。3．利用习题2的结论，设，试算出，并推证证是偶函数所以4、求下列函数的傅里叶变换。（1）（2）（3）（4）（此函数称为高斯（Gauss）分布函数）解（1）¶（2）¶（3）¶（4）教科书中P197，例7.2.3已解得钟形脉冲
2、函数的傅氏变换为，本题中，，所以=¶5．求下列函数的傅里叶变换，并推证下列积分结果。（1），证明（2）证明解（1）¶=的积分表达式为因此有（2）¶=的积分表达式为因此有6．计算下列积分。（1）（2）（3）（4）解（1）（2）=（3）（4）==7．求下列函数的傅氏变换（1）（2）（3）（4）。（5）（6）解（1）¶（2）（3）（4）¶（5）¶（6）¶==8．试利用傅氏变换的性质求下列函数的傅氏变换。（1）E>0（2），（3）（4）（5）（6）解（1）¶¶（2）¶利用留数理论计算上面积分。设被积函数，将扩充到复平面得为的一阶级点，不妨设，可知在上半平面，于是=（3）¶令，同教科
3、书7.2.3解法得（4）（5）令¶，则而所以¶¶故有¶¶2¶9．利用能量积分公式，求下列积分的值。（1）；（2）；（3）；（4）解能量积分公式为（1）=2¶（*）¶（**）再根据教科书P138中例5.3.8的结果得所以由（**）式得¶因此由（*）式得（2）¶（3）¶¶（利用留数理论计算）故于是（4）¶10．求下列函数的傅氏变换。（1）（2）（3）解（1）¶=（2）¶=（3）根据位移性质¶¶再根据像函数的位移性质¶11、求下列函数与的卷积（1），。（2），。（3），解（1）（2）（3）（*）当时，（*）式为==当时，（*）式为当时，（*）式为0.故有B类1．求下列函数的傅里叶
4、变换。（1）（2）解（1）¶（2）¶=2．求下列函数的傅里叶变换，并推证下列积分结果。（1），证明（2）证明解（1）¶===的积分表达式为当时，令得（2）¶=的积分表达式为即3．设，证明证由弱收敛的定义=由积分中值定理，（）式为==因此.4、设其中证明证（*）由积分中值定理，存在使（*）式为因此有.5、设在上连续可微，求证（）证由导数的定义（即在上连续可微）于是6、对于实常数，求证证在上n次连续可微。因此得，当时，当时，总之当时，7、求证，证由定义对任意在（）上n次连续可微的函数特别取，即得8、已知某函数的傅氏变换为¶求该函数。解（*）由教科书例5.3.8知道狄利克积分得当
5、当时，当时，9．证明：如果¶其中为一实函数，则¶¶其中为的共轭函数。证因为所以（*）（**）但¶由本题、式得¶{¶¶}¶{¶¶}10、已知¶，证明（翻转性质）¶证=¶11．利用对称性求下列函数所对应的（1）（2）解由对称性质有（1）¶¶因此结合位移性质¶=所以因此（2）¶所以有因此有12、证明下列各式.（1）.（2）证（1）（2）因此有13、求下列函数的傅氏变换.（1）（2）.（3）解（1）¶（2）由位移性质及¶得¶¶再由像函数的位移性质¶(3)由微分性质¶得¶¶再由像函数的位移性质得¶14.已知某波形的相关函数,求这个波形的能量谱密度.解波形的能量谱密度¶15.证明周期为
6、T的非正弦函数的频谱函数为其中,为的傅氏级数展开式中的系数.证设,则周期为T的非正弦函数的傅氏级数的复指数形式为:¶16.求出的频谱函数,并画出它的频谱图.解信号的频谱函数即为的傅氏变换所以(不妨设)===(*)由本章B类,8题的讨论,（*）为其频谱图如图所示的图形17.求如图所示的锯齿形波的频谱函数,并画出它的频谱图.-3T-3T-2T-TT2T3TOth解如图可知,在一个周期T内的表达式为,它的傅氏级数的复指数形式为:可见的傅氏系数为它的频谱为,,其中234hAO这样对应不同的频率得出各次谱波的振幅,因此频谱图如图所示.18.利用傅氏变换,证明弦振动方程问题的解,由达郎
7、贝尔公式给出解将看作参数,记¶对方程两边取傅氏变换(*)交换方程左边的求导与积分次序得利用傅氏变换微分性质方程右边为因此方程（*）变为将初始条件两边分别取傅氏变换由条件,得¶=¶由条件得若将看作参数,原定解问题变为下面的二阶常系数线性常微分方程的满足初始条件的定解问题:方程的特征方程为两根分别为,,通解为由初始条件得解之得代入通解得最后通过傅氏逆变换求原解:¶19.求的三维傅氏变换.解¶3而同理总之上式为20.计算函数的二维傅氏变换及其积分表达式.解这里有同理因此有而习题八解答A类1．用定义求下列函数的拉氏变换,并
