基于Matlab研究孤立波的非线性作用

《基于Matlab研究孤立波的非线性作用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、文章编号：基于Matlab研究孤立波的非线性作用（成都理工大学管理科学学院，四川成都610059）摘要：孤立波在许多自然科学领域存在重要价值,它是推动非线性科学发展的重要概念之一，也是非线性发展方程的一种独特的现象。同时KdV方程的提出也从理论上阐明了孤立波的存在。利用Matlab软件绘制孤立波图，分析图中孤立波的性质，并对比了消除KdV方程非线性项后绘制出来的线性方程的波图形，总结出了KdV方程的非线性项对于孤立波存在起着重要的作用。关键字：孤立波；非线性；KdV方程；Matlab王红梅1986-12-20女汉硕士湖北随州现代数学及

2、其应用引言孤立波是一种在传播过程中形状、幅度和速度在一定区域都维持不变的脉冲状行波。孤立子是由偏微分方程描述的一种有特殊性质的有孤立波形状的解，其能量不会耗散。当两个或多个能量不同的孤立波在前进时，能量高的波会逐渐赶上并越过能量低的波而保持各自的波形[1]。从数学上看，它是某些非线性偏微分方程的一类稳定的、能量有限的解。KdV方程即为此类非线性偏微分方程之一，它的提出，从理论上阐明了孤立波的存在。1.KdV方程解-孤立子的Matlab图形模拟KdV方程是三阶非线性偏微分方程，形式如下：其中、、分别为的偏导数，在大量文献中，KdV方程的

3、精确解已经被研究。本文利用反散射法[2]（又称非线性Fourier变换方法）求解KdV方程初值问题：（a）KdV方程的初值函数为时可用反散射方法求得单孤子解(1)（b）KdV方程的初值函数为则可用反散射方法求得双孤立子解(2)对上述解(1)和(2)运用Matlab软件[3]作图如下：图1单孤立子图及等高线由图1可以看出孤立波具有光滑的波形，在传播的过程中孤立波的形状，振幅几乎保持不变，即传播时能量消减十分缓慢。孤立波是一个局域化的单个脉冲波包，它在一定局域累仅有一个波峰或波谷，普通波既有波峰又有波谷，此孤立波图仅有一个波峰，波长为无限

4、，随着时间（time）的推移，运动相对于时间及位置并不作周期性变化的波动。图2双孤立子图由图2可知孤立波仅有一个波峰且完全在xut坐标平面上方，能量的衰减也非常缓慢，即在相当长的时间其振幅，形状及速度未改变，长时间维持固有的形态一直下去，两列孤立波在碰撞后，能相互穿透且保持各自的形状、幅度和速度不变。并与物质粒子的弹性碰撞一样，遵循动量守恒和能量守恒。2.线性化KdV方程求解及Matlab图形模拟考虑线性化方程：(3)设存在形如的行波解[4]，且时，。将代人KdV方程可化得常微分方程：(4)其中，积分得：(5)为积分常数。上式乘以在积

5、分之，得：(6)其中亦为积分常数。利用条件时，，推得，上式变为：(7)(8)即(9)解得：,为任意常数，即：(10)由于方程是线性的，所以方程解的任意叠加依然为线性化的KdV方程解,即：(11)为方程的解，为任意常数。考虑其中一个波形解利用Matlab作图3如下：图3（线性化得KdV方程波图）对比图1和图2我们可以看出，该波形图随着时间的推移，波向前传播，波的振幅变化明显减小，即波在传播的过程中能量消减的很快，波峰也很快的消失了。由于色散项ｕxxx的作用，波的各组成部分具有不同的频率，它们以不同的速度传播，行进一定距离之后，波形逐渐扩

6、散而消失。3.结论通过对比由Matlab软件绘制KdV方程线性项与非线性项的不同图形，可以直观清晰的了解到，KdV方程的非线性项对于孤立波的存在起着重要的作用。通常线性的波动方程具有行波解，时间和空间坐标不是各自独立的变量，而是以它们的线性组合作为变量，随着时间推移，波形向前传播，由于存在色散效应（色散即波的传播速度依赖于波的频率和波长，它导致波包散开），波的各组成部分具有不同的频率，它们以不同的速度传播，行进一定距离之后，波形逐渐扩散而消失。对于非线性波动方程，其中出现非线性项，非线性效应会使高频率不断积累，波在前进过程中变得越来越

7、陡而最终达到破碎的地步，犹如岸边见到的白帽波破碎一样。当非线性项和色散相同时存在，两种效应恰能相互抵消，则出现孤立波解[5]。孤立波解只存在于非线性色散方程中，在KdV方程中，非线性项即为ｕｕx，色散项即为ｕxxx，非线性与色散是孤立波存在的必要条件，色散即波的传播速度依赖于波的频率和波长，它导致波包散开，而非线性却导致波包卷缩，两者共同作用的结果便形成稳定的波包，即孤立波。参考文献[1]王振东.孤立波与孤立子[J].力学与实践,2005(27):86～88.[2]W.艾克霍思,A.范哈顿.逆散射变换和孤立子理论[M].上海:上海科学

8、技术文献出版社,1984.[3]王健卫,曲中水,凌滨.MATLAB7.X程序设计[M].北京:中国水利水电出版社,2007.[4]梁昆淼,刘法,缪国庆.数学物理方法[M].北京:高等教育出版社,1998.[5]周守仁.孤