连续性随机变量及其分布

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1、第三节连续型随机变量1.定义对于随机变量X，若存在非负函数f(x)(-

2、点，则EX设随机变量X的分布函数为:求f(x)。故X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限。对f(x)的进一步理解:若x是f(x)的连续点，则：f(x)=若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量X取值于(x,x+△x]的概率近似等于f(x)△x。f(x)△x在连续型r.v理论中所起的作用与P{X=xk}在离散型r.v理论中所起的作用相类似。（4）对任意实数a,若连续型随机变量X具有概率密度f(x)(-

3、出，由P(B)=1,不能推出B=S。令△x→0，由于X是连续型r.v，所以它的分布函数连续，从而P{X=a}=0。推导密度函数的几何意义为例2.13已知随机变量X的概率密度为1)确定常数k。2)求X的分布函数F(x)。3)求P{X(0.5,1.5)}。解:1)2)所以,k=13)P{X(0.5,1.5)}=或=F(1.5)-F(0.5)=。若r.v.X的概率密度为：则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记作：X～U(a,b)1.均匀分布（Uniformdistribution）三种常见连续型随

4、机变量均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五入时，那么一般认为误差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。若X～U(a,b)，则对于满足a≤c

5、ntialdistribution）则称X服从参数为θ(>0)的指数分布。若X～其分布函数为三种常见连续型随机变量例2.15电子元件的寿命X（年）服从参数为3的指数分布。（1）求该电子元件寿命超过2年的概率。（2）已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用至少两年的概率为多少？解：指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命。正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。正态分布在十九世纪前叶由高斯（Gauss）加以推广，所以通常称为高斯分布。德莫佛德莫佛（DeMoivre）最早发现了二项分布的一个近似

6、公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。3.正态分布（Normaldistribution）三种常见连续型随机变量高斯（I）.正态分布的定义若r.v.X的概率密度为记作f(x)所确定的曲线叫作正态曲线。其中m和s都是常数,m任意,s>0,则称X服从参数为m和s的正态分布。（II）.正态分布N(μ,σ2)的图形特点图形关于直线x=对称：f(+x)=f(-x)。在x=时,f(x)取得最大值。在x=±时,曲线y=f(x)在对应的点处有拐点。曲线y=f(x)以x轴为渐近线。曲线y=f(x)的

7、图形呈单峰状。-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3f(x)的两个参数：—位置参数即固定，对于不同的，对应的f(x)的形状不变化，只是位置不同。—形状参数固定，对于不同的，f(x)的形状不同。由于f(m)所以越小，f(x)变得越尖，而X落在附近的概率越大。下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线是拟合的正态密度曲线可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大

8、致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外，在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布。应用场合若随机变量X受到众多相互独立的随机因素的影响,而每一个别因素的影响都是微小的,且这些影响可以叠加,则X服从正态分布。可用正态变量描述的实例非常之多：各种测量的误差；人的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；