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1、2011高考第一轮学案：函数的性质(2)1.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则(D).A.B.C.D.答案D解析因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数,则,,,又因为在R上是奇函数，,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D.2.定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则当时,有(C)(A)B.C.C.D.答案C3.已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是(A)A.0B.C.1D.答案A解析若≠0，则有，取，则有：（∵是偶函数，则）由此得于是，4
2、.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则答案-8-8-6-4-202468yxf(x)=m(m>0)解析因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以,由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题
3、,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.5.函数的定义域是，若对于任意的正数，函数都是其定义域上的增函数，则函数的图象可能是(A)6.给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域是R，值域是[0，]；②函数的图像关于直线对称；③函数是周期函数，最小正周期是1；④函数在上是增函数；则其中真命题是__．答案①②③7.设a为常数，.若函数为偶函数，则=__________；=_______.答案2,88.已知在区间上是增函数，在区间上是减函数，又．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ
4、）若在区间上恒有成立，求的取值范围．8.（Ⅰ），由已知，即解得，，，．（Ⅱ）令，即，，或．又在区间上恒成立，．9设是定义在R上的函数，对、恒有，且当时，。（1）求证：；（2）证明：时恒有；（3）求证：在R上是减函数；（4）若，求的范围：(1)取m=0，n=则，因为所以(2)设则由条件可知又因为，所以∴时，恒有（3）设则==因为所以所以即又因为，所以所以，即该函数在R上是减函数.(4)因为，所以所以，所以10.设函数定义在R上，对于任意实数，总有，且当时，。（1）证明：，且时（2）证明：函数在R上单调递减（3）设，若，确定的取值范围。（1）解
5、：令，则，对于任意实数恒成立，设，则，由得，当时，当时,,（2）证法一：设，则，,函数为减函数证法二：设，则=,故,函数为减函数（3）解：∵，∴若，则圆心到直线的距离应满足，解之得，11.已知定义在R上的函数满足：，当x＜0时，。（1）求证：为奇函数；（2）求证：为R上的增函数；（3）解关于x的不等式：。（其中且a为常数）解：（1）由，令，得：，即再令，即，得：是奇函数………………4分（2）设，且，则由已知得：即在R上是增函数………………8分（3）即当，即时，不等式解集为当，即时，不等式解集为当，即时，不等式解集为………………13分12.设
6、函数，其中（1）解不等式（2）求的取值范围，使在区间上是单调减函数。解：（1）不等式即为当时，不等式解集为当时，不等式解集为当时，不等式解集为（2）在上任取，则所以要使在递减即，只要即故当时，在区间上是单调减函数。13.设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论．【答案】解：（Ⅰ）∵，∴即 ，∵在［0，7］上，只有，∴，∴，∴是非奇非偶函数．（Ⅱ）由，令，得，由，令，得,∴，∴是以10为周期的周期函数，由得，的图象关于对称，∴在［0，11］上，只有，∴10是的
7、最小正周期，∵在［0，10］上，只有，∴在每一个最小正周期内只有两个根，∴在闭区间上的根的个数是．
