正弦函数、余弦函数的性质(2)

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1、1.4.3正弦函数、余弦函数的性质(2)一、【教学目标】重点：是正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性和最值，研究函数的思想方法.难点：是利用正眩函数、余眩函数的周期性来研究它们的单调性及最值.知识点：正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最大值和最小值的概念.能力点：会判断三角函数的奇偶性，会求三角函数的单调区间，会求三角函数的最值.教育点：经历由三角函数性质的探讨过程，感受研究函数性质的一般思路与方法，培养学生运用函数图象分析、探究问题的能力.自主探究点：如何运用三角函数的图像研究三角函数的性质.考试点：求三角函数的单调区间、最值，判断三角函数的奇偶性.易错易混点：(1

2、)确定两数的奇偶性时易忽略定义域必须关于原点对称这个前提；(2)求y=sin(0x+0)(QvO)的单调区间易出错.拓展点：如何利用正、余弦函数的有界性求最值.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学二、【引入新课】1、观察正弦函数和余弦函数的图象，回顾正、余弦函数的性质：定义域、值域、周期性.2、奇函数与偶函数的定义？3、增函数与减函数的定义？具有单调性的函数在单调区间内的图彖特征如何？本节课我们将在这些知识的基础上继续研究正、余弦函数的性质奇偶性、单调性与最值.三、【探究新知】探究一：奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图象，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么

3、？(1)正弦函数图像关于原点对称，余弦函数的图像关于y轴对称.(2)由诱导公式sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosa：可知：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.［设计意图］:正、余眩函数的奇偶性的探究主要由学生来完成，结合图象及诱导公式学生不难得出结论.问题1：我们研究函数的单调性是在定义域范围内研究的，观察正弦函数的图象，它在整个定义域上具有单调性吗？在区间上具有单调性吗？对于周期函数，如果我们把握了它的一个周期内的单调性，那么整个函数的情况也就清楚了.我们该选择哪一个周期进行研究呢？为什么？讨论得出：应以为出发点，原因之一这个区间有且仅有一个单调增区

4、间和一个单调减区间，其22次这个区间在原点附近，便于研究.a问题2：你能写出正弦函数在这个单调递增区间及单调递减区间吗？22（学生讨论，代表发言）7T3/T从y=sinx,xg——的图象上可看出：_22_当xw兰］时，曲线逐渐上升，sinx的值由一1增大到1.22JT3龙当XW［—，一］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到一1.22问题3：整个定义域范围内的所有的单调增、减区间该怎么统一表示呢？请同学们观察在区I'可内函数值的变化范围？在整个定义域范围内的函数值变化情况呢？结合其周期性可知（强调加上周期的整数倍）：■■JTJT正弦函数在每一个闭区间——+2/ot,

5、—+2&r（feeZ）上都是增函数，其值从一1增大到1；在每一个闭22，区间

6、+2o-,y+2/OT（/CGZ）上都是减函数，其值从1减小到一1.■—问题4：类比止弦函数的单调区间的研究过程，你能得出余弦函数的单调区间吗？应该选择余弦函数的哪个周期来作为研究对象？其函数值的变化情况又怎样呢？（观察余弦曲线）得出余弦函数单调递减区间：［2匕72£兀+龙］,£丘Z,其值从1减至-L2.正弦、余弦函数的最值从对正弦、余弦函数的单调性讨论屮可知：正弦函数当且仅当x=--^-2k7r（keZ）时取得最大值1,当且仅当x=-»2k兀（kwZ）时取得最小值T；22余弦函数当且仅当

7、x=2k7T（kwZ）时取得最大值1,当且仅当x=7t+2k兀伙wZ）时取得最小值-1・［设计意图】：单调性与最值的结论的得出主要在教师的引导下，利用数形结合的方法由学生给出，然后教师与学生共同归纳总结.充分发挥学生的学习主动性，成为真正的主人・四.【理解新知】1、判断三角函数的奇偶性时要注意定义域优先的原则,若定义域关于原点对称了，再考察/（X）与/（-X）的关系.2.正余弦函数都不是单调函数，但它们有无数个单调区间，利用单调性可以求值，还可以求三角函数的单调区间，有些函数的单调区间可直接通过其图像获得，同时要注意，求三角函数的单调区间必须在其定义域内进行.3.正弦

8、函数、余弦函数的性质:函数y=sinxy=cosx图象z^1y1—tt/2仃^/o-2<>O-1J/2ttx定义域值域奇偶性周期性最小正周期：最小正周期：单调性在上单调递增：在上单调递减在上单调递增：在上单调递减最值在时，儿axT；在时，儿in=T在时，儿逖=1;在时，儿in=T［设计意图］:总结其性质为准确地运用新知，作必要的铺垫.五、【运用新知】例］.已知函数/(x)=sin(2x+^)是偶函数，求

9、©

10、的最小值.［分析］:利用函数/(兀)=Asin(azr+0)的特殊性，/(O)=sin0二±1时，函数为偶函数，/(O)=sin^=0时函数