高中数学-二面角

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1、达闻中小学生课外辅导中心学员辅导资料二面角的求法一、知识综述二面角的类型和求法可用框图展现如：　　　　　　　　　　　　一、定义法：POBA直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β.求∠APB的大小.例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三

2、垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。　　例、如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,侧棱AA1长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.ABCDA1B1C1D1EO7达闻中小学生课外辅导中心学员辅导资料CDPMBA例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大

3、小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小图4B1AA1BLEF例、如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：二面角A1－AB－B1的大小.PlCBA三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例、空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别为4、3、，求二面角的大小.四、射影法：（面积法）利用面积射影公

4、式S射＝S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。　　　　　　　7达闻中小学生课外辅导中心学员辅导资料例、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。AHMD1C1B1A1BCD五、平移或延长（展）线（面）法对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

5、例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。二、课堂练习A组练习1.正方体AC1中M是BC中点，求二面角D1—AB1—M的平面角的正切值.7达闻中小学生课外辅导中心学员辅导资料2.如图，正方形边长为a，以BD为折痕，折成直二面角，A—BD—C，连AC（1）求B—AC—D大小；（2）求A—BC—D大小.3.ABC为等腰直角三角形，∠C=900.PA⊥面ABC，AC=a.PA=a.求A—PB—C大小.4.直三棱柱棱长均相等.∠ADC1=900

6、.求D—AC1—C大小.5．如图，在底面为平行四形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求二面角的大小.7达闻中小学生课外辅导中心学员辅导资料B组练习1．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)A．150°B．45°C．60°D．1202.如图，四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB＝，求平面ASD与平面BSC所成二面角的大小．3.如图，

7、在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PC⊥平面BEF.(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．4.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1-ED-F的正弦值．7达闻中小学生课外辅导中心学员辅导资料5.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C

8、1中，底面边长为a，侧棱长为a，D是棱A1C1的中点．(1)求证：BC1∥平面AB1D；(2)求二面角A1－AB1－D的大小；6．在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1＝a.(1)求a的值；(2)求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．7.(2010·