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1、名师指点解题技巧：二面角的计算方法选讲一、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。通常作二面角的平面角的途径有：⑴定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发在二面角的两个面内分别作棱的垂线；图1⑵三垂线法：如图1，C是二面角的面内的一个点，于O，只需作OD⊥AB于D，连接CD，用三垂线定理可证明∠CDO就是所求二面角的平面角。⑶垂面法：即在二面角的棱上取一点，过此点作平面，使垂直于二面角的棱，则与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。例1如图2，在四棱锥V-ABCD中，底面AB
2、CD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．（1）证明AB⊥平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．解：（1）证明：（2）解：取VD的中点E，连结AF，BE，∵△VAD是正三形，四边形ABCD为正方形，∴由勾股定理可知，∴AE⊥VD，BE⊥VD，∴∠AEB就是所求二面角的平面角.又在Rt△ABE中，∠BAE=90°，AE=AD=AB，因此，tan∠AEB=即得所求二面角的大小为例2如图3，AB⊥平面BCD，DC⊥CB，AD与平面BCD成30°的角，且AB=BC.（1）求AD与
3、平面ABC所成的角的大小；7（2）求二面角C-AD-B的大小；（3）若AB=2，求点B到平面ACD的距离。解：(1)∵AB⊥平面BCD，∴∠ADB就是AD与平面BCD所成的角,即∠ADB=300,且CD⊥AB，又∵DC⊥BC，,∴CD⊥平面ABC，∴AD与平面ABC所成的角为∠DAC，设AB=BC=a,则AC=，BD=acot300=,AD=2a,,∴tan∠DAC=,∴,即，AD与平面ABC所成的角为450.(2)作CE⊥BD于E，取AD的中点F，连CF，∵AB⊥面BCD，∴面ABD⊥面BCD，又∵面ABD面
4、BCD=BD，CE⊥BD，∴CE⊥面ABD，又∵AC=BC=，AF=FD，∴AD⊥EF，有三垂线定理的逆定理可知，∠CFE就是所求二面角的平面角.计算可知,，，∴，∴∠CFE=arcsin.故，所求的二面角为arcsin3.略例3如图4，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O.（1）证明⊥；（2）求面与面所成二面角的大小。解：（1）在正六边形ABCDEF中，为等腰三角形，7∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影；又∵O
5、为BF中点，为等腰三角形，∴AO⊥BF，∴有三垂线定理可知,PA⊥BF.（2）∵O为BF中点，ABCDEF是正六边形，∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，∵PO⊥平面ABF，,∴由三垂线定理可知,AD⊥PB,过O在平面PBF内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则PB⊥平面AHD,所以为所求二面角平面角。又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴，，。，；故,所求的二面角为二、面积射影法：如图5，二面角为锐二面角,△ABC在半平面内,△ABC在平面内的射影为△A1B1C1，那么二面角的大小.例4如图6，矩形ABCD中,
6、AB=6,BC=,沿对角线BD将折起,使点A移至点P,且P在平面BCD内的射影为O,且O在DC上.（1）求证:PD⊥PC；7（2）求二面角P-DB-C的平面角的余弦值；（3）求CD与平面PBD所成的角的正弦值.解:（1）证明:∵PC在面BCD内的射影为OC,且OC⊥BC，∴由三垂线定理可知，BC⊥PC，又∵PB=6，BC=，∴PC=而PD=，DC=∴36=DC，∴PD⊥PC.（2）.设OC=x,则OD=6-x,∵∴,∴∴设二面角P-DB-C的大小为，则三、空间向量法：I、先用传统方法作出二面角的平面角，再利用向
7、量的夹角公式进行计算。例5如图7，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B-AC-E的大小；（3）求点D到平面ACE的距离。7解：（1）∵二面角D-AB-E为直二面角，AB为棱，CB⊥AB，∴CB⊥平面EAB，进而可得，CB⊥AE，又∵BF⊥平面ACE，∴AE⊥BF，而∴AE⊥平面BCE.（2）连结BD交AC于点O，连结OF，由于ABCD为正方形，所以OB⊥AC，又因为BF⊥平面ACE，由三垂线定理的
8、逆定理可知，OF⊥AC，∴∠BOF就是所求二面角的平面角.在平面ABE内作Ax⊥AB,以A为原点，分别以Ax、AB、AD为x轴、y轴、z轴，建立如图7的空间直角坐标系，易知△AEB为等腰直角三角形，所以，A(0,0,0),O(0,1,1),B(0,2,0),C(0,2,2),E(1,1,0),设F（m,n,t），∵C、E、F三点共线，∴∴又∵BF⊥AC，∴∴∴∴故，所求的二面角为arc
