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1、第二讲函数与方程及函数的应用一、主干知识1.函数的零点及函数的零点与方程根的关系:对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.2.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,并且有______________,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.f(a)·f(b)<0二、必记公式几种常见的
2、函数模型:(1)一次函数模型:y=ax+b(a≠0).(2)二次函数模型:y=ax2+bx+c(a≠0).(3)指数型函数模型:y=a·bx+c(a>0,b>0且b≠1).(4)对数型函数模型:y=blogax+c(b>0,a>0且a≠1).(5)分段函数模型:f(x)=(A1∩A2=⌀).(6)形如y=ax+,x∈(0,+∞)(a>0,b>0)的函数模型.1.(2013·连云港模拟)函数f(x)=
3、x-2
4、-lnx在定义域内零点的个数为.【解析】在平面直角坐标系中画出y=
5、x-2
6、与y=lnx的图象如图.其交点有2个,即f(x)在定义域内有2个零点.答案:22.(
7、2013·湖南高考改编)函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象的交点个数为.【解析】在同一坐标系中作出f(x)=2lnx和g(x)=x2-4x+5的图象就可看出有2个交点.答案:23.(2013·盐城模拟)如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为_______.【解析】显然点A在上.又因为A的纵坐标为2，所以所以D的横坐标为，显然B点的纵坐标为2，且B点在的图象上，所以因此B点的横坐标为4，C点的横坐标也为4，又因为点C在的图象上，所以C点的纵坐标为所以D点的
8、坐标为答案：4．(2013·昆明模拟)函数f(x)＝的零点的个数为_______．【解析】当x≥0时，由f(x)=0得x+1=0，此时x=-1不成立.当x＜0时，由f(x)=0得x2+x=0，此时x=-1或x=0(不成立舍去).所以函数的零点为x=-1，为1个.答案:15.(2013·西安模拟)若曲线
9、y
10、=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是.【解析】因为
11、y
12、=2x+1,所以y=2x+1或y=-2x-1,因为2x>0,所以y>1或y<-1,所以若曲线
13、y
14、=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是-1≤b≤1.答案:-1≤b≤16.(2013
15、·大同模拟)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＋2x－k＝0有且只有两个不同的实根，则实数k的取值范围为_____．【解析】易知f(x)＝把方程f(x)＋2x－k＝0化为f(x)＝-2x＋k，在同一坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝－2x＋k的图象，由图知－1＜k≤2.答案：-1＜k≤2热点考向1函数零点的确定及应用【典例1】(1)(2013·北京模拟)已知定义在R上的函数f(x)的对称轴为x=-3，且当x≥-3时，f(x)=2x-3.若函数f(x)在区间(k-1，k)(k∈Z)上有零点，则k的值为________.(2)(2013·济宁模拟)函数f(x)＝的
16、零点个数是___________.【解题探究】(1)区间(k-1，k)(k∈Z)关于x=-3对称的区间是什么？提示：k-1关于x=-3对称后为-5-k；k关于x=-3对称后为-6-k，故区间(k-1,k)(k∈Z)关于x=-3对称的区间为(-6-k,-5-k).(2)当x＞0时，y=lnx与y=x2-2x有几个交点；当x≤0时，y=4x+1与x轴有几个交点？提示：两个；一个.【解析】(1)当x≥-3时，由f(x)=2x-3=0，解得x=log23，因为1≤log23≤2，即函数的零点所在的区间为(1，2)，所以k=2.又函数关于x=-3对称，所以另外一个零点在区间(
17、-8，-7)上，此时k=-7.答案：2或-7(2)当x＞0时，由lnx-x2+2x=0，得lnx=x2-2x，设y=lnx，y=x2-2x，作出函数y=lnx，y=x2-2x的图象，由图象可知，此时有两个交点.当x≤0时，由4x+1=0，解得所以函数的零点个数为3.答案：3【方法总结】求函数零点的方法(1)解方程法.(2)利用零点存在性定理.(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解.【变式训练】1.已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点有________个.【解析】函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数，即为函数y=f(x)与y＝ex的图象交点的个
