正项级数及其审敛法、第三节绝对收敛与条件收敛

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1、第二节正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.基本定理:2.正项级数收敛的充要条件:显然，正项级数的部分和数列为单调增加数列正项级数非常重要，许多级数的收敛性问题都可归结为正项级数的收敛性问题.证明即部分和数列有界3.比较审敛法定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.解证明比较审敛法是一基本方法，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法。4.比较审敛法的极限形式:设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二

2、级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;证明由比较审敛法即可得证.设正项级数å¥=1nnu和å¥=1nnv的一般项均为时的无穷小,且则二级数有相同的敛散性.解故原级数发散.故原级数收敛.故原级数收敛.证明原级数收敛原级数发散比值审敛法的优点:不必找参考级数.两点注意:解比值审敛法失效,改用比较审敛法例5解由于不存在，比值审敛法失效，而对由比值审敛法得收敛故由比较审敛法知收敛例6解故级数收敛级数发散比值审敛法失效故级数发散由证明取由知由收敛及比较审敛法得收敛收敛由知故不趋于0发散不能判定如都有但收敛发散解故级数

3、收敛级数发散根值审敛法失效但此时级数为第三节绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其审敛法1.定义:正、负项交错的级数称为交错级数.证明满足收敛的两个条件,定理证毕.解原级数收敛.证明un单调减的方法:？？？二、绝对收敛与条件收敛定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明上定理的作用：任意项级数正项级数解故由定义知原级数绝对收敛.将正项级数的比值审敛法和根值审敛法应用于判定任意项级数的敛散性可得到如下定理：定理设有级数则绝对收敛发散可能绝对收敛，可能条件收敛，也可能发散如注意一般而言，由发散，并不能推出发散如发散但收敛若发散是由比值审敛法或根值审敛法而审定则必定发散这

4、是因为比值法和根值法审定级数发散的原因是通项不趋向于0由例9解所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．小结正项级数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;解由比较审敛法知收敛.反之不成立.例如：收敛,发散.思考题1.求极限解考察正项级数由比值法得收敛由级数收敛的必要条件得补充题都收敛，且2.试证收敛.证由知因都收敛,故正项级数收敛,再由比较审敛法知正项级数收敛,而即可表为两个收敛级数之和,故收敛.3.设且若收敛,则也收敛.证由题设知而收敛,由比较法得收敛.Cauchy积分审敛法:设且单调减少

5、,,则与同敛散.4.证由f(x)单调减少知故与同敛散.5.设是单调增加且有界的正数数列试证明收敛.证记则且而正项级数的部分和又单调增加且有界,故由单调有界原理知存在即收敛,进而收敛,由比较法得收敛.设正数数列单调减少，级数发散考察的敛散性证记由单调减少,且故由单调有界原理知存在,且若由Leibniz审敛法,得交错级数收敛,与题设矛盾由根值法知收敛.6.练习题练习题答案