概统23随机变量的分布函数与连续型的随机变量

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1、定义2设X为一个随机变量，对任意实数x，称F(x)=P(Xx)为X的分布函数.基本性质：(1)F(x)单调不降；(2)有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1；(3)右连续.2.3随机变量的分布函数与连续型的随机变量48F(x)是分段阶梯函数,在X的可能取值xk处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度pk.离散随机变量及分布函数其中.49例2.3.1已知X的分布列如下：X012P1/31/61/2求X的分布函数.解：50X012P0.40.40.2解：例2.3.2已知X的分布函数如下,求X的分布列.51定义3设随机变量X的分布函数为F(x),则称X为连续随机变

2、量，若存在非负可积函数f(x)，满足：称f(x)为概率密度函数，简称密度函数.52p.d.f.f(x)的性质常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性r.v.的d.f.在f(x)的连续点处，f(x)描述了X在x附近单位长度的区间内取值的概率53xf(x)xF(x)分布函数与密度函数几何意义54注意:对于连续型r.v.X,P(X=a)=0其中a是随机变量X的一个可能的取值命题连续r.v.取任一常数的概率为零强调概率为0(1)的事件未必不发生(发生)事实上55对于连续型r.v.Xbxf(x)a56xf(x)a57连续型密度函数X~p(x)(不唯一)2.4.P(X=a)=0离散型分布列:pn=P

3、(X=xn)(唯一)2.F(x)=3.F(a+0)=F(a);P(aa}和B={Y>a}独立，解:因为P(A)=P(B),P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)从中解得且P(AB)=3/4,求常数a.且由A、B独立，得=2P(A)[P(A)]2=3/4从中解得:P(A)=1/

4、2,由此得0a)例2.3.461设X~p(x)，且p(x)=p(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数a>0，有()①F(a)=1②F(a)=③F(a)=F(a)④F(a)=2F(a)1练习162练习2已知某型号电子管的使用寿命X为连续r.v.,其d.f.为(1)求常数c(3)已知一设备装有3个这样的电子管,每个电子管能否正常工作相互独立,求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.(2)计算例163解(1)令c=1000(2)64(3)设A表示一个电子管的寿命小于1500小时设在使用的最初1500小时三个电子管中损坏的个数为Y6

5、5(1)均匀分布常见的连续性随机变量的分布若X的d.f.为则称X服从区间(a,b)上的均匀分布或称X服从参数为a,b的均匀分布.记作均匀分布66X的分布函数为67xf(x)abxF(x)ba68即X落在(a,b)内任何长为d–c的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.进行大量数值计算时,若在小数点后第k位进行四舍五入,则产生的误差可以看作服从的r.v.随机变量应用场合69例秒表最小刻度值为0.01秒.若计时精度是取最近的刻度值,求使用该表计时产生的随机误差X的d.f.并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率.解X等可能地取得区间所以上的任一值，则70(2

6、)指数分布若X的d.f.为则称X服从参数为的指数分布记作X的分布函数为>0为常数指数分布711xF(x)0xf(x)072对于任意的0

7、性”76(3)正态分布若X的d.f.为则称X服从参数为,2的正态分布记作X~N(,2)为常数，正态分布亦称高斯(Gauss)分布77N(-3,1.2)78f(x)的性质：图形关于直线x=对称,即在x=时,f(x)取得最大值在x=±时,曲线y=f(x)在对应的点处有拐点曲线y=f(x)以x轴为渐近线曲线y=f(x)的图形呈单峰状f(+x)=f(-x)性质7980f(x)的两个参数：—位置参数即固定,