概率论与数理统计离散性随机变量及其分布函数

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1、2.2-2.3随机变量的分布函数一、离散型随机变量的概念二、离散型随机变量的分布函数三、常见的离散型随机变量的概率分布定义:若随机变量X的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称X为离散型随机变量.描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即概率分布的性质一、离散型随机变量的概念非负性规范性F(x)是分段阶梯函数，在X的可能取值xk处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点.二、离散型随机变量的分布函数注意:离散型随机变量的概率分布分以下几步来求:(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)设法（如利用古典概率）计

2、算取每个值的概率.(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）.例2.2.1从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布律．具体写出，即可得X的分布律：解：X的可能取值为5，6，7，8，9，10．并且=——求分布率一定要说明k的取值范围！例2.2.2袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回,直到取得黑球为止。记X为取到白球的数目,Y为抽取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。解:(1)X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=5/8,P(X=1)=(3×5)

3、/(8×7)=15/56,类似有P(X=2)=(3×2×5)/(8×7×6)=5/56,P(X=3)=1/56,所以,X的概率分布为X0123P5/815/565/561/56(2)Y的可能取值为1,2,3,4,P(Y=1)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,类似有：P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以Y的概率分布为：(3)P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56(1)0–1分布X=xk10Pkp1-p0

4、机变量的概率分布凡是随机试验只有两个可能的结果，应用场合常用0–1分布描述，如产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等.(2)离散型均匀分布如在“掷骰子”的试验中，用表示事件｛出现点｝，则随机变量是均匀分布．(3)二项分布背景：n重Bernoulli试验中，每次试验感兴趣的事件A在n次试验中发生的次数——X是一离散型随机变量若P(A)=p,则称X服从参数为n,p的二项分布，记作0–1分布是n=1的二项分布.例3.1.1一大批产品的次品率为0.1，现从中取出15件．试求下列事件的概率：B={取出

5、的15件产品中恰有2件次品}C={取出的15件产品中至少有2件次品}由于从一大批产品中取15件产品，故可近似看作是一15重Bernoulli试验．解：所以，例3.1.2一个完全不懂英语的人去参加英语考试.假设此考试有5个选择题，每题有n重选择，其中只有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及格的概率.解:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个Bernoulli试验.(4)Poisson分布或或若其中是常数，则称X服从参数为

6、的Poisson分布，记作在一定时间间隔内：一匹布上的疵点个数；大卖场的顾客数；应用场合:电话总机接到的电话次数；一个容器中的细菌数；放射性物质发出的粒子数；一本书中每页印刷错误的个数；某一地区发生的交通事故的次数;市级医院急诊病人数；等等.例3.1.3设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，且已知解：随机变量X的分布律为由已知如果随机变量X的分布律为试确定未知常数c.例3.1.4由分布率的性质有解：(5)几何分布设用机枪射击一次击落飞机的概率为,无限次地射击，则首次击落飞机时所需射击的次数服从参数为的几何分

7、布，记.即容易验证，若在前m次射击中未击落飞机，那么,在此条件下，为了等到击落时刻所需要等待时间也服从同一几何分布，该分布与m无关，这就是所谓的无记忆性.(6)超几何分布设有产品件，其中正品件，次品件（），从中随机地不放回抽取件，，记X为抽到的的正品件数，求X的分布律.此时抽到件正品的概率为k=0，1，…，称X服从超几何分布.记可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布，因此在实际应用中，当都很大时，超几何分布可用下面式子近似(7)负二项分布（Pascal分布)(自学)(8)截塔（Zipf）分布(自学)课堂练习1.将

8、一枚均匀骰子抛掷3次，令X表示3次中出现“4”点的次数求X的概率函数提示：２.设生男孩的概率为p,生女孩的概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.求X的概率分布.X的概率函数是：男女解:X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为p.X=0X=1X=2X=3X=4X可取值0,1,2,3,4.