极限运算法则(少学时简约型

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1、中国药科大学数学教研室杨访第五节极限运算法则本节概要由于初等函数由基本初等函数经四则运算和复合运算构成，而微积分以极限为工具研究初等函数，故在微积分中主要讨论极限的四则运算和复合运算。由极限与无穷小的关系，极限运算的讨论可归结为无穷小运算的讨论。极限理论可分为两个部分，一是极限概念，二是极限计算。在理解极限概念的基础上，可进一步讨论极限的计算问题。利用极限与无穷小的关系，由无穷小的代数运算性质可方便地导出极限的四则运算法则。利用极限的四则运算法则可将初等函数的极限计算问题转化为基本初等函数的极限计算。从而只需求出基本初等函数的极限就可计算出相当一部分初等

2、函数的极限。1.极限的四则运算法则如果limf(x)=A，limg(x)=B，则lim[f(x)±g(x)]存在，且有lim[f(x)±g(x)]=A±B=limf(x)±limg(x).定理1和的极限运算法则(1)函数和的极限因为limf(x)=A，limg(x)=B，由极限与无穷小的关系有f(x)=A+(x)，g(x)=B+(x)，其中lim(x)=0，lim(x)=0.于是对不受极限号约束的函数形式有f(x)±g(x)=[A+(x)]±[B+(x)]=(A±B)+[(x)±(x)].由无穷小的代数运算性质知(x)±(x)也是无穷

3、小。再由极限与无穷小的关系有lim[f(x)±g(x)]=A±B=limf(x)±limg(x).证利用极限与无穷小的关系证明(2)关于定理1意义的分析和讨论对定理1条件的理解定理1的条件为，在自变量同一变化过程中，两个单项极限均存在，即limf(x)=A，limg(x)=B.只有在两个单项极限都存在的条件下，两极限的和limf(x)±limg(x)才有意义。此时才能考虑极限和是否等于和的极限的问题。反之，若两个单项极限有一个不存在，则极限和limf(x)±limg(x)没有意义，自然也没有确定结果，但此时两函数和的极限lim[f(x)±g(x)]却可以

4、有意义，也可能存在。定理结论可分为定性和定量的两个部分。定性结论是：和的极限lim[f(x)±g(x)]存在。此结论通常用于判别和函数极限的存在性。定量结论是：和的极限等于极限的和，即lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x).此结论通常用于和函数极限的计算。对定理1结论的理解由归纳法原理，定理1可推广至有限多个函数的和的情形，即如果limfi(x)=Ai，(i=1,2,…,n)，则存在，且有需注意的是，定理1的结论不能推广至无穷多个函数和的情形，即无穷多个函数的和的极限未必等于各函数极限的和。定理1的推广例：求极限这是n-1项的和的求

5、极限问题，当n→时，就成了无穷多项和的极限问题。对此和式中的任一项容易求得有那么是否有分析本例极限的几何意义图示三角形面积可近似地表为各小矩形面积之和为应用和的极限运算法则进行计算，可考虑将给定的无穷和转化为有限和。因为解化为有限和进行计算(3)函数乘积的极限定理2乘积的极限运算法则如果limf(x)=A，limg(x)=B，则lim[f(x)g(x)]存在，且有lim[f(x)g(x)]=A·B=limf(x)limg(x).按条件，由极限与无穷小的关系有f(x)=A+(x)，g(x)=B+(x)，其中lim(x)=0，lim(x)=0

6、.对不受极限号约束的函数形式有f(x)g(x)=[A+(x)][B+(x)]=AB+[A(x)+B(x)+(x)(x)].由无穷小的运算性质知(x)=A(x)+B(x)+(x)(x)为无穷小，故有f(x)g(x)=AB+(x)，lim(x)=0.即lim[f(x)g(x)]=AB=limf(x)limg(x).证利用极限与无穷小的关系进行证明由归纳法原理，定理2可推广至有限多个函数的乘积的情形，即如果limfi(x)=Ai，(i=1,2,…,n)，则存在，且有需注意的是，定理2不能推广至无穷多个函数的

7、乘积情形，即无穷多个函数的乘积的极限未必等于各函数极限的乘积。定理2的推广推论1幂的极限运算性质如果limf(x)存在，而n为正整数，则lim[f(x)]n=[limf(x)]n.如果limf(x)存在，而C为常数，则limCf(x)=Climf(x).常数可从极限号中提出推论2推论1f(x)＝g(x)推论2g(x)＝C结果说明对初等函数的讨论，所遇到的幂函数指数常常不一定是正整数，因此推论1的应用会出现一些问题。由复合函数的极限运算性质还可得到如下更具一般性的结果：若limf(x)=A>0，则对一切实数有lim[f(x)]=[limf(x)].推

8、论1的更一般性的结果(5)函数商的极限定理3商的极限运算法则如果limf(x)=