极限存在性的判定与求法

《极限存在性的判定与求法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、期中考试安排考试时间：2011，11，10，上午§2.3极限存在性的判定和求法一、极限存在性的判定1、夹逼定理定理应用夹逼定理求极限，关键是找到g(x)、h(x)，不但要满足不等式，而且二者的极限要相等。设数列{xn},{yn},{zn}满足下列关系:(2)则(1)ynxnzn,nZ+(或从某一项开始);夹逼定理：例1答案1解例22、单调有界性定理定义有界。定义单调递增；单调递减。定理单调有界数列必有极限。单调收敛准则单调减少有下界的数列必有极限.单调增加有上界的数列必有极限.通常说成：单调有界的数列必有极限.例3答案例4.设证:显然证明下述数列有极限.即单调

2、增,又存在“拆项相消”法例5.求解:令则利用夹逼准则可知二、两个重要极限首先看看在计算机上进行的数值计算结果：0.10.99833416646828154750180.010.99998333341666645335270.0010.99999983333334163670970.00010.99999999833333341747730.000010.99999999998333322093200.0000010.99999999999983335552400.00000011.00000000000000000000000.000000011第一个重要极限：其中

3、的两个等号只在x=0时成立.设圆心角过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作则sinx=BD，tanx=AC，当时首先证明不等式BODACx当时有即当时BODACx而当时有,从而即当时有这就证明了不等式.从而有由夹逼准则，即得第一个重要极限：这是因为，令u=a(x)，则u0，于是解：例3．例4．解：重要极限(I)：例5．解：重要极限(I)：求故解例6(2)求(1)请自己动手做一下例7(1)解(2)解由三角函数公式求例8解故原式解利用重要极限，有例9例10.求解:原式2.重要极限变量代换下面证明其中e是一个常数，其近似值为：e2.7182818284590。第

4、二个重要极限：下页n1234510100100010000…yn22.2502.3702.4412.4882.5972.7052.7172.718…**证由中学的牛顿二项式展开公式类似地,有等比数列求和放大不等式每个括号小于1.**证综上所述,数列{xn}是单调增加且有上界的,由极限存在准则可知,该数列的极限存在,通常将它纪为e,即e称为欧拉常数.由它能得到吗？如果可行,则可以利用极限运算性质得到所需的结论吗？进一步可得吗？**证明因为x+,故不妨设x>0.由实数知识,总可取nN,使nx

5、样的代换？**再证明由最后证明现在证明令t,则x0时,故于是有证综上所述,得到以下公式一般地两个重要极限或注:代表相同的表达式思考与练习填空题(1～4)重要极限(II)：例1.求下列极限=e-1e=1。例2解：重要极限(II)：例3思考题：求极限解原式例4求解重要极限(II)：(1)求例5解解此题的另一解法：解注意：求例7解又故常用的方法例8设有本金1000元，若用连续复利计算，年利率为8%，问5年末可得本利和为多少？解设复利一年计算一次，则一年末本利和为若复利一年计算n次，则x年末本利和为x年末本利和为所以例9.已知求c.本周作业：答案：112.已知求a

6、的值。答案：1