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1、极限的求法与技巧姓名：印溪学号：B09060503函数极限的计算是数学分析的基础，那么如何根据表达式求出极限值呢?对于这一问题只能针对小同体型采取相应的求法。下面概括了常用的若干求极限的方法，更多方法，有赖于人们去总结和发现。1.运用极限的定义例：用极限定义证明:证:由取则当时,就有由函数极限定义有:2.利用等价无穷小替换常用的等价无穷小关系：等价无穷小代换法设都是同一极限过程中的无穷小量，且有：，存在，则也存在，且有=例:求极限解:=注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差
2、出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”3．利用极限的四则运算法则极限的四则运算法则叙述如下：若(I)(II)(III)若B≠0则：（IV）（c为常数）上述性质对于总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例：求解:=4、利用两个重要的极限。但我们经常使用的是它们的变形：例：求下列函数极限5、利用无穷小量与无穷大量的关系。（I）若：则(II)若:且f(x)≠0则例:求下列极限①②解:由故由故=6.变量替换例求极限.分析当时,分子、分母都趋于,不
3、能直接应用法则,注意到,故可作变量替换.解原式==(令,引进新的变量,将原来的关于的极限转化为的极限.)=.(型,最高次幂在分母上)7.分段函数的极限例设讨论在点处的极限是否存在.分析所给函数是分段函数,是分段点,要知是否存在,必须从极限存在的充要条件入手.解因为所以不存在.注1因为从的左边趋于,则,故.注2因为从的右边趋于,则,故.8、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。例：求下列函数的极限（2）9、洛必达法则（适用于未定式极限）定理：若此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则
4、。注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点：1、要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。2、应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。4、当不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。例：求下列函数的极限①②解：①令f(x)=,g(x)=l,由于但从而运用洛必达法则两次后得到②由故此例属于型，由洛必达法则有：=注:此法采用洛必达法则配合
5、使用两个重要极限法。[解法二]:=注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。[解法三]:注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及洛必达法则[解法四]:注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。[解法五]:注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。[解法六]：令注：此解法利用变量代换法配合使用洛必达法则。[解法七]:注:此解法利用了洛必达法则配合使用两个重要极限。10、利用函数极限的存在性定理（夹逼准则）定理:设在的某空心邻域内恒有g(x)≤f(x)≤h(x
6、)且有:则极限存在,且有例:求(a>1,n>0)解:当x≥1时,存在唯一的正整数k,使k≤x≤k+1于是当n>0时有:及又当x时,k有及=011、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于A。即有：==A例：设=求及由12、约去零因式（此法适用于）例:求解:原式=====13、通分法（适用于型）例:求解:原式===14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则更为方便，下列为
7、常用的展开式：1、2、3、4、5、6、上述展开式中的符号都有:例:求解:利用泰勒公式，当有于是===15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件：(I)f在闭区间上连续(II)f在(a,b)内可导则在(a,b)内至少存在一点,使得此式变形可为:例:求解:令对它应用中值定理得即:连续从而有:16、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即若:(I)当时，有(II)当时有:①若则②若而则③若,,则分别考虑若为的s重根,即:也为的r重根,即:可得结论如下：例：求下列函数的极限①②解:①分子，分母的最高次方相
8、同，故=②必含有（x-1）之因子，即有1的重根故有:(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。例：求解:17.利用拆项法技巧例6：分析：由于=原式=在实际学习中很多题是多种方法综合运用求解的。所以求极限时，首先观察数列或函数的形式．选择适当方法，只有方法得当，才能准确、快速、灵活的求解极限以上只是众多求解极限方法
