Lebesgue控制收敛定理在数学分析中的应用

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1、Lebesgue控制收敛定理在数学分析中的应用卢江龙指导教师：王汝军（河西学院数学与应用数学专业085班13号，甘肃张掖734000）摘要：本文利用Lebesgue控制收敛定理和概率统计的有关知识以及由Lebesgue控制收敛定理得到的新的逐项积分定理，解决了数学分析中的一些难以解决的问题。众所周知，Riemann积分（下面称为（R）积分，并记为）中函数项级数的逐项积分定理需要很强的级数一致收敛的条件，且级数的每一项都要连续（见注解［5］引文，定理13.12）。使用起来非常不便，且应用面较窄，本文借助于Lebesgue积分（下面称为（L）积分，记为）得到了

2、新的在（R）积分中能接受的，应用面更广泛的逐项积分定理，从而解决了数学分析中的一些问题。关键词：Lebesgue控制收敛定理；Riemann积分；极限；大数定律：Lebesgue积分LebesguedominatedconvergencetheoreminmathematicalanalysisLuJianglongSupervisor:WangRujun(HexiUniversity,ofMathematicsandAppliedMathematics085classonthe13th,GansuZhangye734000)Abstract:usingt

3、heLebesgueconvergencetheoremandtheknowledgeabouttheprobabilityandstatisticsandtheconvergencetheoremofLebesgueintegraltheorem,anewitemtosolvesomeofthemathematicalanalysistosolvetheproblem.Asisknowntoall,Riemannintegral(below(R)calledfortheintegration,andremember)functionseriesofcor

4、e-staffintegraltheoremisunanimousconvergentseries,andtheconditionsofeachtocontinuous(seecomments[5]13.12),theorem.Useupveryinconvenient,andapplicationofnarrowLebesgueintegral,thepaperbythecalled(L)points,anewrecordfor)in(R)canaccept,moreextensiveapplicationoftheitem,whichsolvedthe

5、integraltheoremandsomeproblemsofmathematicalanalysis.Keywords:Lebesguedominatedconvergencetheorem;Riemannintegral;limit;LawofLargeNumbers:Lebesgueintegral1．引言众所周知，Riemann积分（下面称为（R）积分，并记为）中函数项级数的逐项积分定理需要很强的级数一致收敛的条件，且级数的每一项都要连续（见注解［5］引文，定理13.12）。使用起来非常不便，且应用面较窄，本文借助于Lebesgue积分（下面称为

6、（L）积分，记为）得到了新的在（R）积分中能接受的，应用面更广泛的逐项积分定理，从而解决了数学分析中的一些问题。下面先看Lebesgue控制收敛定理。2．定理定理（Lebesgue控制收敛定理）设(1)是可测集E上的可测函数列；（2）a.e.于E，，且在E上可积分（称为所控制，而叫控制函数）；（3）则在E上可积分且=证明从略。借助定理1可以得到新的在（R）积分中能接受的，应用面更广泛的逐项积分定理，并极大的削弱了定理的条件，下面先给出一个引理。引理如果非负无界函数在上的（R）广义积分收敛，则在上必（L）可积且积分值相等，即=定理2若，且每一个及都在上（R）

7、可积，又存在非负函数列，使得，且又在上的（R）或广义积分收敛，则==（1）证：记，则，且，又由引理及文［3］中的定理4.2知，，，在上（L）可积。再由定理1（Lebesgue控制收敛定理）知=定理3若上非负函数列满足=，，且每一个及都在上（R）可积或（R）广义积分收敛，则（1）式也成立。证：只要在定理2的证明中取=，，=即可得证。引理2设是独立同分布随机变量序列，服从上的均匀分布，而是上的实值连续且周期为1的周期函数，则对任意的，有证：由条件：随机变量序列独立同分布于，知由辛钦大叔定律得说明：由证明过程可知，当，是上的连续函数，结论亦成立。定理4设与g都是

8、上的实值连续函数，又对某个常数＞0，有不等式＜成立，则有证：考虑独