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1、§6曲面与空间曲线例1:求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。解:设M(x,y,z)为动点的坐标,动点应满足的条件是
2、AM
3、=
4、BM
5、由距离公式得一.曲面及其方程:1.曲面方程的一般概念:而满足此方程的点都在曲面上,则称此方程为该曲面的方程,而曲面称为此方程的‘图形’。定义:若曲面上的点的坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=0,山东水利职业学院数理化教研室《应用数学》精品课程——电子教案整理得此即所求点的规迹方程,为一平面方程。2.坐标面及与坐标面平行的平面方程:①坐标平面xOy的方程:z=0②过点(a,b,c)且与xOy面平行
6、的平面方程:z=c③坐标面yOz、坐标面zOx以及过(a,b,c)点且分别与之平行的平面方程:x=0;y=0;x=a;y=b山东水利职业学院数理化教研室《应用数学》精品课程——电子教案3.球面方程:①球面的标准方程:以M0(x0,y0,z0)为球心,R为半径的球面方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2例2:求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面解:整理得:(x+1)2+(y-1)2+z2=22故此为一个球心在(-1,1,0),半径为2的球。球面方程的特点:平方项系数相同;没有交叉项。②球面的一般方程:x2+y2+z2+Ax+By+
7、Cz+D=0山东水利职业学院数理化教研室《应用数学》精品课程——电子教案一般我们将动直线l沿定曲线c平行移动所形成的轨迹称为柱面。其中直线l称为柱面的母线,定曲线c称为柱面的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。此时有以下结论:分析:母线平行于坐标轴的柱面的特点为:平行于某轴,则在其方程中无此坐标项。其几何意义为:无论z取何值,只要满足F(x,y)=0,则总在柱面上。若柱面的母线平行于z轴,准线c是xOy面上的一条曲线,其方程为F(x,y)=0,则该柱面的方程为F(x,y)=0;同理,G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y轴
8、和x轴的柱面。4.母线平行于坐标轴的柱面方程:山东水利职业学院数理化教研室《应用数学》精品课程——电子教案圆柱面;椭圆柱面;双曲柱面;抛物柱面。以上所举例均为母线平行于z轴的情况,其他情况类似。几种常见柱面:x+y=a平面;山东水利职业学院数理化教研室《应用数学》精品课程——电子教案4.旋转曲面:一般情况下我们将一平面曲线c绕同一平面内的定直线l旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。其中c称为母线,l称为其轴。本章中我们只研究绕坐标轴放置的曲面。此时有以下结论:设yOz平面上有一已知曲线c其方程为f(y,z)=0,将c绕z轴旋转一周,所得到的以z轴为轴的放置曲面的方
9、程为:山东水利职业学院数理化教研室《应用数学》精品课程——电子教案同理,曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为:同理,以xOy面上曲线f(x,y)=0为母线绕x轴得曲面绕y轴为以xOz面上曲线f(x,z)=0为母线绕x轴得曲面绕z轴得曲面例3求顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为a的圆锥面方程。解:将yOz面上的直线z=yctg绕z轴旋转一周即得圆锥曲面整理后得:其中a=ctg山东水利职业学院数理化教研室《应用数学》精品课程——电子教案二.空间曲线及其方程:1.空间曲线的一般方程:空间曲线一般可看作两个曲面的交线,若两个曲面的方程分别为F(x,y,z)=0和G(x,
10、y,z)=0,则易知其交线c的方程为称此方程组为曲线c的一般方程。例4:方程组表示怎样的曲线?解:平面z=2上以(0,0,2)为圆心的单位圆。山东水利职业学院数理化教研室《应用数学》精品课程——电子教案表示母线平行于Z轴,准线在xoy面上半径为1的上半球面例方程表示怎样曲线解:表示中心在原点,半径为1的圆柱面它们的交线是xoy面上的一个圆,其圆心在,半径为山东水利职业学院数理化教研室《应用数学》精品课程——电子教案2.空间曲线的参数方程:方程组称为空间中曲线的参数方程。设空间曲线方程如果选定一个适当的函数x=x(x)代入上述方程组并有它解出y=(x),Z=Z(
11、x)得例如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以等角速度绕z周旋转,同时,以等速度v沿平行于Z轴的正方向移动,则点M运动的轨迹叫螺旋线,求其参数方程山东水利职业学院数理化教研室《应用数学》精品课程——电子教案螺旋线有一个重要性质,当从变到时,Z由变到这说明当转过角时,点沿螺旋线升了高度,即上升的高度与转过角度成正比。山东水利职业学院数理化教研室《应用数学》精品课程——电子教案三.空间曲线在坐标面上的投影:在该方程组中消去z得H(x,y)=0,此为一个通过曲线L母线平行于z轴的柱面,称为曲线c关于xOy面的投影柱面。此投影柱面与xOy平面的交线即为c在xOy平
12、面上的投影曲线,简称投影,其方程为同理