曲线积分与曲面积分例题

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1、第十一章曲线积分与曲面积分§11-1对弧长的曲线积分定义：设L为面内的一条光滑曲线弧，函数上有界，在上任意插入一点列把L分成n个小段，设第个小段的长度为为第个小段上任意取定的一点，作乘积并作和如果当各小弧段的长度的最大值时，这和的极限总存在，则称此极限为函数在曲线弧上L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，其中叫做被积函数，L叫做积分弧段。例1．计算，其中L为圆周，直线及轴在第二象限内所围成的扇形整个边界。例2．计算，其中为折线，这里依次为点例３．计算，其中L为曲线。例4．计算，其中L为折线所围成的区域的整个边界例5．计算半径为R，中心角

2、为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量（设线密度）。§11-2对坐标的曲线积分定义：设L为面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数上有界，在L上沿L的方向任意插入一点列把L分成n个有向小弧线段设为上任意取定点，如果当各小弧段长度的最大值时，的极限总存在，则称此极限为函数在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分，记作，类似地，如果总存在，则称此极限为函数在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分，记作其中叫做被积函数，L叫做积分弧段。以上两个积分也称为第二类曲线积分。(一)定理：设在有向曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为，当参数单调地由变到时，点从L的起

3、点A沿L运动到终点B，在以为端点的闭区间上具有一阶连续导数且则曲线积分存在，且例1．计算，其中L为抛物线上从点到点的一段弧。例2．计算，其中L为（1）半径为，圆心为原点，按逆时针方向绕行的上半圆周。（2）从点沿轴到点的直线段。例3．计算，其中L为（1）抛物线上从的一段弧。（2）抛物线上从的一段弧。（3）有向折线,这里O,A,B依次是点（0，0），（1，0），（1，1）.例4．计算其中为椭圆若从轴正向看去，的方向是顺时针的。例5．设一个质点在处受到力F的作用，F的大小与M到原点O的距离成正比，F的方向恒指向原点，此质点由点沿椭圆按逆时针方

4、向移动到点，求力F所做的功W。例6．将对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中L为沿抛物线从点到点。§11-3格林公式及其应用例1．求椭圆所围成图形的面积。例2．设L是任意一条分段光滑的闭曲线，证明：例3．计算，其中D是为顶点三角形闭区域。例4．计算，其中L为一条无重点分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向。例5．计算其中L是曲线及所围成的区域的边界，按逆时针方向。例6．计算，其中L是以为顶点的三角形正向边界曲线。例7．计算，其中L为（1）圆周的正向。（2）正方形边界的正向。例8计算其中L为曲线按增大的方向。定理2设区

5、域G是一个单连通域，函数在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是在G内恒成立。例9．计算曲线积分其中L是以点为中心，R为半径的圆周取逆时针方向。定理3设区域G是一个单连通域，函数在G内具有一阶连续偏导数，则在G内为某一函数的全微分的充分必要条件是在G内恒成立。推论设区域G是一个单连通域，函数在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分在G内与路径无关的充分必要条件是：在G内存在函数，使例10．验证在右半平面内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。例11．验证：在整个面内，是某个

6、函数的全微分，并求出一个这样的函数。例12．验证：在整个面内，是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。例13．求解方程§11-4对面积的曲面积分定义设曲面是光滑的，函数在上有界，把任意分成小块（同时也代表第小块曲面的面积），设是上任意取定的一点，作乘积并作和，如果当各小块曲面的直径的最大值时，这和的极限总存在，则称此极限为函数在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作即其中叫做被积函数，叫做积分曲面。例1．计算曲面积分，其中是球面被平面截出的顶部。例2．计算曲面积分其中是介于之间的圆柱面。例3．计算，其中是由平面及所围成的四面体的

7、整个边界曲面。例4．计算，其中是圆锥面被柱面所截的部分。例5．设为椭球面的上半部分,点（Ⅱ为在点P处的切平面）为点到平面Ⅱ的距离，求§11-5对坐标的曲面积分定义设为光滑的有向曲面，函数在上有界，把任意分成块小曲面（同时又表示第块小曲面的面积），在面上的投影为上任意取定的一点，如果当个小块曲面的直径的最大值时，总存在，则称此极限为函数在有向曲面上对坐标的曲面积分，记作即其中叫做被积函数，叫做积分曲面。类似地可以定义函数在有向曲面上对坐标的曲面积分及函数在有向曲面上对坐标的曲面积分分别为以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分。例1．计算曲面

8、积分其中是长方体的整个表面的外侧，例2．计算曲面积分其中是球面外侧在的部分。例3．计算，其中为锥面及平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。例4．计算曲面积分其中是旋转抛物面介于平面之间的部分的下侧。例5