曲线的极坐标方程(I)

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1、第十五章选考部分第二节曲线的极坐标方程第二讲坐标系与参数方程课前自主学案知识梳理一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)=0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)=0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)=0叫做曲线C的极坐标方程.2.直线的极坐标方程（1）过极点且与极轴成α角的直线方程是：θ=α和θ=π-α；（2）与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)(a＞0)的直线方程为：ρcosθ=a；（3）与极轴平行且在x轴的上方，与极轴的距离为a的直线方程为：ρsinθ=a.

2、3.圆的极坐标方程（1）以极点为圆心，半径为r的圆的方程为：ρ=r；（2）圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程上：ρ=2rcosθ；（3）圆心在过极点且与极轴成π/2的射线上，过极点，半径为r的圆的方程为：ρ=2rsinθ.4.极坐标与直角坐标的互化公式基础自测1．在极坐标系中，过极点，倾斜角为π/3的直线方程是（）解析：根据极坐标方程的定义，易知所求直线方程是θ=π/3和θ=4π/3故选D.答案：D2．把极坐标方程ρ=-10cosθ化为直角坐标方程为（）A.x2+y2=-10xB

3、.x2+y2=-10yC.x2+y2=10D.x2+y2=25解析：把ρ=-10cosθ的两边同乘以ρ，得ρ2=-10ρcosθ，再代入极坐标与直角坐标的互化公式，得直角坐标方程为x2+y2=-10x.答案：A3.(2009年上海卷）在极坐标系中，由三条直线θ=0,θ=π/3,ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积是________解析：化为普通方程，分别为：y=0,y=,x+y=1,画出三条直线的图象如右图，可求得三角形AOB的面积为：答案：4.（2009年广州一模）在极坐标系中，直线ρsin

4、(θ+π/4)=2被圆ρ=4截得的弦长为________答案：课堂互动探究求圆的极坐标方程已知圆C的圆心坐标为半径为5，求圆C的极坐标方程.解析：设点P（ρ,θ）是圆C上的任意一点，如右图所示，由平面几知识可知，∠APO=90°,∠PAO=θ,AO=10,∴sinθ=ρ/10,∴ρ=10sinθ.即所求圆C的极坐标方程为：ρ=10sinθ变式探究1.已知圆A的圆心坐标为（2，0），半径为2，则圆A的极坐标方程是________解析：由cosθ=ρ/4,得ρ=4cosθ.答案：ρ=4cosθ求直线的极坐

5、标方程设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，直线l过P且与极轴所成的角为α，求直线l的极坐标方程.分析：用直接法求解解析：如右图所示，设M(ρ,θ)为直线l上除点P外的任意一点，连接OM，则

6、OM

7、=ρ，∠xOM=θ.由点P的极坐标为(ρ1，θ1)知，

8、OP

9、=ρ1，∠xOP=θ1.设直线l与极轴交于点A，已知直线l与极轴成α角，所以∠xAM=α.在△MOP中，∠OMP=α-θ，∠OPM=π-(α-θ1)，由正弦定理得显然，点P的坐标(ρ1，θ1)是上述方程的解.所以，上述方程就是直线l的极坐标方程.点评：本例题很

10、好地展示了求直线的极坐标方程的基本方法，注意与直角坐标方程的求解方法相互比较，仔细揣摩.变式探究2.求过点A(a,0)(a＞0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程.解析：如右图所示，设M(ρ,θ)为直线l上，除点A外的任意一点，连接OM，由Rt△MOA有

11、OM

12、cos∠MOA=

13、OA

14、，即ρcosθ=a.可以验证，点A(a,0)满足上式.所以，ρcosθ=a.就是所求直线的极坐标方程。曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化把极坐标方程ρ=2cosθ-4sinθ化成直角坐标方程.分析：直接运用极坐标与直角坐标的

15、互化公式即可.解析：把ρ=2cosθ-4sinθ两边同乘以ρ，得到ρ2=2ρcosθ-4ρsinθ，即x2+y2=2x-4y，所以，所求的直角坐标方程是(x-1)2+(y-2)2=5。点评：熟悉极坐标与直角坐标的互化公式，熟练进行恒等变形是这个问题的目的所在.3.把直角坐标方程2x-3y-1=0化成极坐标方程.变式探究解析：把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入2x-3y-1=0，即得所求的极坐标方程是2ρcosθ-3ρsinθ-1=0曲线的极坐标方程的应用已知椭圆的中心为O，长轴、短轴的长分别为2a,2b

16、(a＞b＞0)，A,B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB.（1）求证：为定值；（2）求△AOB面积的最大值和最小值.分析：由于点的极坐标更加容易表示距离和角度，所以涉及到长度和角度问题，采用极坐标系往往能够简化思路、简便运算.解析：（1）以椭圆中心O为直角坐标原点，长轴所在的直线为x轴建立直角坐标系，则椭圆的直角坐标方程为将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程，得（2