晶体振动与晶体的热学性质

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1、第三章晶格在振动与晶体的热学性质3.3晶格中振动的量子化和声子3.2晶格振动的经典理论3.1连续媒质中的弹性波3.4离子晶体中的长光学波3.5晶体比热容的量子理论3.6晶体热膨胀3.7晶体热传导3.8确定晶格振动谱的实验方法返回总目录3.1连续媒质中的弹性波连续媒质中弹性波的波动方程：其中为拉普拉斯算符，在笛卡儿直角坐标系中方程解的形式：为波矢量，方向为波的传播方向；为波的角频率或圆频率.色散关系：3.1.1描写波的几个物理量1.周期和频率周期：质点完成一次全振动的时间，用T表示质点角频率把称为相位，则周期可表述为同一质点相

2、位变化所需要的时间.频率：单位时间内完成全振动的次数，等于周期的倒数，用v表示所以：角频率的意义就是秒内完成全振动的次数.2.波矢和波长等相面（波阵面）：位相相同的点组成的面，它与波矢垂直.波矢：q波的传播方向平面波：等相面为平面的波.波长：同一时刻相位相差的两点之间的长度，用表示.波矢与波长的关系：3.相速度和群速度沿波的传播方向，等相面传播的速度称为相速度，记为：对于弹性波，等相面满足常数，求其微分得：由于连续媒质中的弹性波的色散关系是线性的，以致相速度为常数.群速度：振幅传播的速度.大小为：对于连续媒质弹性波，，而与无

3、关.所以：群速度等于相速度.在晶体中传播的格波，色散关系不是简单的线性关系，群速度和相速度不再相等.当不是常数时晶体周期性边界条件一维链的波恩—卡曼边界条件3.1.2周期性边界条件和状态密度1.周期性边界条件波恩－卡门边界条件所以波矢只能取的整数倍，即只能是一系列分立的值.所以：在q空间中一个分立的波矢量占据的体积为：注意：这里的不是波矢量的增量，而是表示空间的一个体积元，式中为所处理的晶体的体积.把媒质分成原胞，在x，y，z方向上的基矢长度分别为a，b，c，原胞数分别为则：为原胞总数为每个原胞体积所以：倒格子原胞的体积倒格

4、子原胞得体积与第一布里渊区得体积相等.所以第一布里渊区内分立波矢量的数目为：所以：第一布里渊区内分立波矢量的数目等于晶体中原胞的数目.虽然它是在直角坐标系中推出的，但是它普遍成立.2.状态密度状态密度：单位频率间隔内的状态数目.用表示.状态是用角频率表示，而角频率往往是波矢量的函数—色散关系所以：为单位波矢间隔内的状态数.对于弹性波，一个波矢对应一个状态，则它可由q空间中的波矢大小为q的球体内的分立波矢数Z求出:所以：对于弹性波，则:代入得：弹性波的状态密度曲线3.2晶格振动的经典理论3.2.1简谐振动在平衡位置附近当振动很

5、微小时，很小，上式只保留到项，则原子间的相互作用力可表示为：其中对于微小振动，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近的简谐振动.所以称这个近似为简谐振动3.2.2一维单原子链的振动模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，原子质量为m.试探解:求色散关系:性质：(1)长波时,格波成为弹性波解释:很大,本来不连续的晶格可视为连续的了.随着q的增长，ω数值逐渐偏离线性关系，变得平缓，在布里渊区边界，格波频率达到极大值。截止频率一维单原子就像一个低通滤波器，它只能传播的弹性波，高于频

6、率的弹性波被强烈衰减。在布里渊区边界处：群速度为零，这是因为此时近邻原子散射的子波与入射波位相相差π，由B原子反射的子波到达近邻A原子处时恰好和A原子反射的子波同位相，对所有原子的散射波都满足上述条件，所以当时，散射子波之间发生相长干涉，结果反射达到最大值，并与入射波相结合，形成驻波，群速度为零。这和X射线衍射的Bragg条件是一致的，也同样显示了布里渊区边界的特征。它们都是由于入射波的波动性和晶格的周期性所产生的结果。入射波反射波相邻原子振动相位相反，波既不向右传播，也不向左传播，形成驻波(2)驻波特征所以：而此时即当时，

7、能量不向外边传播——驻波原因：入时波和反射波的迭加（3）周期性周期为一个倒格子矢量所以把q限制在第一布区目录解释：q与q+分别对应不同的波长，为什么它们都描写同一运动状态呢？从图可以看出：两条曲线描写的格点的运动状态完全不同.唯一不同的就是两格点之间的运动状态.而这些中间状态的差异并不影响物理实质.所以为了使x～q（ω～q）的关系成为单值，限制q在第一布区，对一维来说q的取值（4）第一布区里的分立波矢数＝晶体原胞数.晶体内独立状态数（振动频率数）＝晶体自由度数证：使用周期性边界条件（图形）第一布区的长度：第一布区分立波矢数：

8、第二个结论显然是成立的.（5）状态密度连续介质格波格波有截止频率22max12wwp-=N2cos2maxqaNwp=)2cos(1qamaLbp=)(wr)(maxww<0分立晶格连续模型1-D分立晶格和连续模型的区别：范霍夫奇点实际晶体的态密度：晶体的态密度函数原则上可以从理论上通过