无穷级数和微分方程(VI)

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1、1.4无穷级数1.4.1数项级数1.4.2幂级数讨论敛散性求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。1.4.3傅立叶级数求函数的傅立叶级数展开，讨论和函数的性质。1.4.1数项级数给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S为级数的和。1.数项级数定义2.基本性质性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,即其和为cS.性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.(1)性

2、质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级的和.推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.性质5：设收敛级数则必有可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.等比级数(又称几何级数)(q称为公比).级数收敛,级数发散.其和为3.几个重要级数的收敛性调和级数发散(常数p>0)p-级数*例1.判断级数的敛散性:解:该级数是下列两级数之差故原级数收敛.(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数

3、(2)若弱级数则强级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数k>0),4.审敛法正项级数：(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞设两正项级数满足(1)当0

4、。绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数绝对收敛；则称原级数条件收敛.绝对收敛的级数一定收敛.例5.证明下列级数绝对收敛:证:而收敛,收敛因此绝对收敛.判断数项级数敛散的方法1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质2、利用必要条件：主要判别发散3、求部分和数列的极限4、正项级数的审敛法1）比值审敛法（根值审敛法）2）比较审敛法（或极限形式）5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛发散发散收敛收敛发散1.Abel定理

5、若幂级数则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式1.4.2幂级数*例6.已知幂级数在处收敛，则该级数在处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：由Abel定理，该幂级数在处绝对收敛，故在绝对收敛。例7.已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为若的系数满足1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,则的收敛半径为2.求收敛半径对端点x=－1,的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散.故收

6、敛域为例8..求幂级数3.求函数的幂级数展开式1、对函数作恒等变形（如果需要的话）2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数3、写出收敛范围(P34例1-37)1.求傅立叶级数展开式2.求某个傅立叶系数3.求和函数在某些点的值1.4.3傅立叶级数的有关问题例9.设f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为(3)将f(x)展成傅里叶级数.解:(3)先求傅里叶系数1.5微分方程1.5.1微分方程的基本概念1.5.2解微分方程1.5.3微分方程应用1.5.1微分方程的基本概念一阶微分方程二阶微分方程1.判定微分方程的阶2.判定函数是否微

7、分方程的解，通解或特解例1.验证函数是微分方程的解.解:是方程的解.1.5.2解微分方程1.一阶微分方程可分离变量，一阶线性2.高阶微分方程二阶线性常系数齐次，二阶线性常系数非齐次只要求写出特解形式。*例2.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)因此可能增、减解.解*例3.利用一阶线性方程的通解公式得：例4.曲线族所满足的一阶微分方程是____.解:对两边求导，得即为所求一阶微分方程特征方程:实根特征根通解二阶线性常系数齐次微分方程求解例5.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例6.求解初值问题解:特征方程有重根因此原

8、方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为*例7.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例8.解