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1、项目四无穷级数与微分方程实验1无穷级数实验目的观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的逼近.掌握用Mathematica求无穷级数的和,求幂级数的收敛域,展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法.基本命令1.求无穷和的命令Sum该命令可用来求无穷和.例如,输入Sum[1/n^2,{n,l,Infinity}]则输出无穷级数的和为命令Sum与数学中的求和号相当.2.将函数展开为幂级数的命令Series该命令的基本格式为Series[f[x],{x,x0
2、,n}]它将展开成关于的幂级数.幂级数的最高次幂为余项用表示.例如,输入Series[y[x],{x,0,5}]则输出带皮亚诺余项的麦克劳林级数3.去掉余项的命令Normal在将展开成幂级数后,有时为了近似计算或作图,需要把余项去掉.只要使用Normal命令.例如,输入Series[Exp[x],{x,0,6}]Normal[%]则输出4.强制求值的命令Evaluate如果函数是用Normal命令定义的,则当对它进行作图或数值计算时,可能会出现问题.例如,输入fx=Normal[Series[E
3、xp[x],{x,0,3}]]Plot[fx,{x,-3,3}]则只能输出去掉余项后的展开式而得不到函数的图形.这时要使用强制求值命令Evaluate,改成输入Plot[Evaluate[fx],{x,-3,3}]则输出上述函数的图形.5.作散点图的命令ListPlot132ListPlot[]为平面内作散点图的命令,其对象是数集,例如,输入ListPlot[Table[j^2,{j,16}],PlotStyle->PointSize[0,012]]则输出坐标为的散点图.6.符号“/；”用于定义
4、某种规则,“/；”后面是条件.例如,输入Clear[g,gf];g[x_]:=x/;0<=x<1g[x_]:=-x/;-1<=x<0g[x_]:=g[x–2]/;x>=1则得到分段的周期函数再输入gf=Plot[g[x],{x,-1,6}]则输出函数的图形.注:用Which命令也可以定义分段函数,从这个例子中看到用“…(表达式)/;…(条件)”来定义周期性分段函数更方便些.用Plot命令可以作出分段函数的图形,但用Mathematica命令求分段函数的导数或积分时往往会有问题.用Which定义的
5、分段函数可以求导但不能积分.Mathematica内部函数中有一些也是分段函数.如:Mod[x,1],Abs[x],Floor[x]和UnitStep[x].其中只有单位阶跃函数UnitStep[x]可以用Mathematica命令来求导和求定积分.因此在求分段函数的傅里叶系数时,对分段函数的积分往往要分区来积.在被积函数可以用单位阶跃函数UnitStep的四则运算和复合运算表达时,计算傅里叶系数就比较方便了.实验举例数项级数例1.1(1)观察级数的部分和序列的变化趋势.(2)观察级数的部分和序
6、列的变化趋势.输入s[n_]=Sum[1/k^2,{k,n}];data=Table[s[n],{n,100}];ListPlot[data];N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}]]N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}],40]则输出(1)中级数部分和的变化趋势图.级数的近似值为1.64493.输入s[n_]=Sum[1/k,{k,n}];data=Table[s[n],{n,50}];ListPlot[data,PlotStyle->PointSize[0.02]];
7、则输出(2)中级数部分和的的变化趋势图.例1.2画出级数的部分和分布图.输入命令Clear[sn,g];sn=0;n=1;g={};m=3;While[1/n>10^-m,sn=sn+(-1)^(n-1)/n;132g=Append[g,Graphics[{RGBColor[Abs[Sin[n]],0,1/n],Line[{{sn,0},{sn,1}}]}]];n++];Show[g,PlotRange->{-0.2,1.3},Axes->True];则输出所给级数部分和的图形,从图中可观察到它
8、收敛于0.693附近的一个数.例1.3设求.输入Clear[a];a[n_]=10^n/(n!);vals=Table[a[n],{n,1,25}];ListPlot[vals,PlotStyle->PointSize[0.012]]则输出的散点图,从图中可观察的变化趋势.输入Sum[a[n],{n,l,Infinity}]则输出所求级数的和.求幂级数的收敛域例1.4求的收敛域与和函数.输入Clear[a];a[n_]=4^(2n)*(x-3)^n/(n+1);stepone=a[n+1]/a[
