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1、1．如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF.(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：BF⊥BD.证明 (1)AC与BD交于O点，连接EO.正方形ABCD中，BO＝AB，又因为AB＝EF，∴BO＝EF，又因为EF∥BD，∴EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵BF⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴BF∥平面ACE.(7分)(2)正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE，∵EO⊂平面ACE，∴BD⊥EO，∵EO∥B
2、F，∴BF⊥BD.(14分)2．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足8Sn＝a＋4an＋3(n∈N*)，且a1，a2，a7依次是等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}及{bn}的通项公式；(2)是否存在常数a＞0且a≠1,使得数列{an－logabn}(n∈N*)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解 (1)n＝1时，8a1＝a＋4a1＋3，a1＝1或a1＝3.(2分)当n≥2时，8Sn－1＝a＋4an－1＋3，an＝Sn－Sn－1＝(a＋4an－a－4an－1)，从而(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0因为{an}各
3、项均为正数，所以an－an－1＝4.(6分)所以，当a1＝1时，an＝4n－3；当a1＝3时，an＝4n－1.又因为当a1＝1时，a1，a2，a7分别为1,5,25，构成等比数列，所以an＝4n－3，bn＝5n－1.当a1＝3时，a1，a2，a7分别为3,7,27，不构成等比数列，舍去．(11分)(2)假设存在a，理由如下：(12分)由(1)知，an＝4n－3，bn＝5n－1，从而an－lonabn＝4n－3－loga5n－1＝4n－3－(n－1)·loga5＝(4－loga5)n－3＋loga5.由题意，得4－loga5＝0，所以a＝.(16分)3．如图，椭圆＋
4、＝1(a＞b＞0)的上，下两个顶点为A，B，直线l：y＝－2，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2.若椭圆的离心率为，且过点A(0,1)．(1)求k1·k2的值；(2)求MN的最小值；(3)随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由．解 (1)因为e＝＝,b＝1,解得a＝2,所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.设椭圆上点P(x0，y0)，有＋y＝1，所以k1·k2＝·＝＝－.(4分)(2)因为M，N在直线
5、l：y＝－2上，设M(x1，－2)，N(x2，－2)，由方程知＋y2＝1知，A(0,1)，B(0，－1)，所以KBM·kAN＝·＝，(6分)又由(1)知kAN·kBM＝k1·k2＝－，所以x1x2＝－12，(8分)6不妨设x1＜0，则x2＞0，则MN＝
6、x1－x2
7、＝x2－x1＝x2＋≥2＝4，所以当且仅当x2＝－x1＝2时，MN取得最小值4.(10分)(3)设M(x1，－2)，N(x2，－2)，则以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y＋2)2＝0，(12分)即x2＋(y＋2)2－12－(x1＋x2)x＝0，若圆过定点，则有x＝0，x2＋(y＋2)
8、2－12＝0，解得x＝0，y＝－2±2，所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点(0，－2±2)．(16分)4．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数．(1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围；(2)解关于x的方程f(x)＝
9、f′(x)
10、；(3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]时的最小值．解 (1)因为f(x)≤f′(x)，所以x2－2x＋1≤2a(1－x)，又因为－2≤x≤－1，所以a≥max在x∈[－2，－1]时恒成立，因为＝≤，所以a≥.(4分)(2)因为f(x)＝
11、
12、f′(x)
13、，所以x2＋2ax＋1＝2
14、x＋a
15、，所以(x＋a)2－2
16、x＋a
17、＋1－a2＝0，则
18、x＋a
19、＝1＋a或
20、x＋a
21、＝1－a.(7分)①当a＜－1时，
22、x＋a
23、＝1－a，所以x＝－1或x＝1－2a；②当－1≤a≤1时，
24、x＋a
25、＝1－a或
26、x＋a
27、＝1＋a，所以x＝±1或x＝1－2a或x＝－(1＋2a)；③当a＞1时，
28、x＋a
29、＝1＋a，所以x＝1或x＝－(1＋2a)．(10分)5．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC，点E在棱PB上，且PE＝2EB.(1)求证：平面P
30、AB⊥平面
