数项级数的概念及性质(I)

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1、第七章无穷级数第一节数项级数的概念及性质第二节正项级数敛散性的判别第三节任意项级数敛散性的判别第四节幂级数第五节函数的幂级数展开第七章无穷级数第一节数项级数的概念及性质例如:某人现在元年金,求其应趸交的保费?设银行年利率为岁的人活过年的概率,趸交的保费为,则岁,在生存期内每年获得为如果数列,则称为一个数项无穷级数,简称称为首项,②数项级数简记为第一节数项级数的概念及性质一数项级数的概念1.数项级数是一个数项级数或级数.注　①称为通项或一般项.2.第次部分和对于级数称为级数的第记作次部分和,3.部分和数列数列称为级数的部分和数列,简记为注关系式.设是级数

2、的部分和数列,极限存在值为则称级数是收敛的,和为极限不存在,是发散的,没有和.4.收敛与发散如果如果则称级数重点定义注做题步骤:(1)求(2)求例1讨论级数的敛散性.解故级数收敛,和为例2讨论级数的敛散性综上所述:时级数收敛,和为时级数发散.解(1)此级数为等比级数或几何级数.(2)此级数可写成注意事项例3讨论调和级数的敛散性.解故调和级数发散.二级数的基本性质性质1设是常数,则收敛于和与收敛于和证设的第次部分和为的第次部分和为因敛散性相同.且时,故性质2如果与都收敛,则也收敛,且证设与次部分和的第分别为与则故(1)与都收敛,则也收敛.(2)收敛发散,

3、则发散.(3)与都发散,则不确定.例如发散,发散,仍发散.发散,发散,收敛.例4判定下列级数的敛散性.所以收敛所以发散所以发散在级数中去掉或添加有限项,级数的敛散性不变.证(1)(2)(2)的第次部分和为(1)的第次部分和分别为性质3则存在存在存在故次与性质4收敛级数任意加括号后仍收敛于原来的和.证设的第次部分和为加括号后所成的新级数为的第次部分和为新级数收敛.(2)加括号后发散原级数一定发散(3)加括号后收敛原级数敛散性不确定例如发散收敛收敛收敛(1)收敛级数任意加括号后仍收敛例5判断级数的敛散性解(2)收敛(3)发散(1)发散原级数发散.性质5如果

4、级数收敛,则证设的次部分和为,和为则从而(2)如果则级数一定发散.(1)如果级数收敛,则(3)如果则级数不一定收敛.(4)如果级数发散,则不一定不等于零.例6判断级数的敛散性.解因故级数发散.做题参考思路:(1)是否特殊级数(等比级数,调和级数)(2)一般项是否趋于零(3)其它基本性质(4)定义作业题习题七(A)1、2、3、4、5.