常数项级数的概念(I)

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学第一讲常数项级数的概念和性质授课教师：彭亚新高等数学A（1）第八章无穷级数本章学习要求：理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。第八章无穷级数第一节常数项级数的概念和性质一.无穷级数的概念二.级数收敛的必要条件三.无穷级数的基本性质一.无穷级数的概念1.无穷级数的定义设有数列{un}:u1,u2,…,un,…为一个无穷级数,简称为级数.称un为级数的一般项或通项.则称表达式下列各式均为常数项级数例1下列各式均为函数项级数例22.级数的敛散性定义无穷级数的前n项之和

2、：称为级数的部分和.若存在,则称级数收敛.S称为级数的和：若不存在(包括为),发散.则称级数讨论等比级数的敛散性.等比级数的部分和为：当公比

3、r

4、<1时,此时等比级数收敛,其和为：解例3当公比

5、r

6、>1时,当公比r=1时,Sn=a,n为奇数0,n为偶数当公比

7、r

8、<1时,等比级数收敛；当公比r=1时,当公比

9、r

10、1时,等比级数发散.综上所述,讨论级数的敛散性.解例4而故即该级数收敛,其和为二.级数收敛的必要条件若级数收敛,则必有定理证设由于故该级数发散.解例5证明调和级数是发散的:调和级数的部分和有：证例

11、6由数学归纳法,得k=0,1,2,而故不存在,即调和级数发散.三.无穷级数的基本性质若c0为常数,则与1.性质1有相同的敛散性,且证的部分和为的部分和为故同时收敛或同时发散,即与且有2.性质2证的部分和为：故即级数收敛,且因为等比级数所以级数例7问题一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？是发散的问题两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？不一定但对收敛级数来说,它的和将改变.在一个级数的前面加上或者去掉有限项后,所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.3.性质3证设级数的部分和为Sn,去掉级数的前面m

12、项后得到的级数的部分和为由于Sm当m固定时为一常数,所以故级数与级数有相同的敛散性.级数仍然收敛,且其和不变.对收敛的级数加括号后所得到的新在级数运算中,不能随意加上或去掉括号,因为这样做可能改变级数的敛散性.4.性质4问题收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？不一定问题发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？不一定问题如果加括号后的级数仍发散,原级数是否也发散？原级数也发散加括号可引起收敛,去括号可引起发散.