2005年全国初中数学竞赛试题及参考答案

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1、2005年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。）1、如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6。将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为（　　）A、2　　　　B、4　　　C、6　　　D、8AAABBBCCCEEDDDF答：A解：由折叠过程知，DE＝AD＝6，∠DAE＝∠CEF＝45°，所以△CEF是等腰直角三角形，且EC＝8－6＝2，所以，S△CEF＝22、若M＝（x，y是实数），则M的值一定是（　　　）A、正

2、数　　　B、负数　　　C、零　　　D、整数A1BCDAB1C1I解：因为M＝＝≥0且，，这三个数不能同时为0，所以M≥03、已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于（　　　）A、30°　　　B、45°　　　C、60°　　　D、90°答：C解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r（r为△ABC的内切圆半径），所以点I同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC的交点为D，则IB＝IA1＝2ID，所以∠IBD＝30°，同理，∠IBA＝

3、30°，于是，∠ABC＝60°4、设A＝，则与A最接近的正整数为（　　　）A、18　　　B、20　　　C、24　　　D、25答：D解：对于正整数mn≥3，有，所以A＝＝因为＜＜，所以与A最接近的正整数为25。5、设a、b是正整数，且满足56≤a＋b≤59，0.9＜＜0.91，则等于（　　）A、171　　　B、177　　　C、180　　　D、182答：B解：由题设得0.9b＋b＜59，0.91b＋b＞56，所以29＜b＜32。因此b＝30，31。当b＝30时，由0.9b＜a＜0.91b，得27＜a＜28，这样的正整数a不存在。当b＝

4、31时，由0.9b＜a＜0.91b，得27＜a＜29，所以a＝28。所以＝177二、填空题：（共5小题，每小题6分，满分30分。）6、在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针，（O为两针的旋转中心），若现在时间恰好是12点整，则经过　　　　秒钟后，△OAB的面积第一次达到最大。答：解：设OA边上的高为h，则h≤OB，所以S△OAB＝≤当OA⊥OB时，等号成立。此时△OAB的面积最大。设经过t秒时，OA与OB第一次垂直。又因为秒针1秒钟旋转6度，分针1秒钟旋转0.1度，于是（6－0.1）t＝90，解得t＝7、在直角坐标系中，

5、抛物线（m＞0）与x轴交于A、B两点，若A、B两点到原点的距离分别为OA、OB，且满足，则m的值等于　　　　　　答：2解：设方程的两根分别为且＜，则有＜0，＜0所以有＜0，＞0，由，可知OA＞OB，又m＞0，所以，抛物线的对称轴在y轴的左侧，于是，OB＝，所以由得m＝28、有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A、2、3、…J、Q、K的顺序排列。某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，

6、把第四张放在最底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是　　　　　答：第二副牌中的方块6解：根据题意，如果扑克牌的张数为2，，，…3，那么依照上述操作方法，只剩下的一张牌就是这些牌的最后一张。例如，手中只有64张牌，依照上述操作方法，最后只剩下第64张牌。现在，手中有108张牌，多出108－64＝44（张），如果依照上述操作方法，先丢掉44张牌，那么此时手中恰好有64张牌，而原来顺序的第88张牌恰好放在手中牌的最底层。这样，再继续进行丢、留的操作，最后剩下的就是原来顺序的第88张牌。按照两副扑克牌的花色排列顺序，8

7、8－54－2－26＝6，所剩下的最后一张牌是第二副牌中的方块6。ABCDFEPQR9、已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点，且BD＝4，DC＝1，AE＝5，EC＝2。连结AD和BE，它们相交于点P，过点P分别作PQ∥CA，PR∥CB，它们分别与边AB交于点Q、R，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为　　　　　　　。答：解：过点E作EF∥AD，且交边BC于点F，则所以FD＝CD＝，又因为PQ∥CA，所以，于是PQ＝由△QPR∽△ACB，故10、已知,,…，都是正整数，且，若的最大值为A，最小值为B，则A＋B的值等于　　　　

8、　　　。答：494解：因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故的最小值和最大值是存在的。不妨设≤≤…≤，若＞1，则＋＝，且＞所以当＞1时，可以把逐步调整到1，这时，将增大；同样地，可以把，，…逐步调整到1，这时将增大。于是，当，，…均为1