#2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题题号一二三总分1～56～1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）qfRgF4dw271．设，则代数式的值为(>.

2、<），那么<）为(>.qfRgF4dw27...

3、，8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是.NW2GT2oy018．如图，点为直线上的两点，过两点分别作y轴的平行线交双曲线<）于两点.若，则的值为.NW2GT2oy01<第10题）<第8题）9．若的最大值为a，最小值为b，则的值为.10．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为.NW2GT2oy01三、解答题<共4题，每题20分，共80分）11．已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.12．如图，点为△的垂心，以为直径的⊙和△的外接圆⊙相交于点，延长交于点，求证：点为的中点

4、.<第12题）13．如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.<1）求证：∠=∠；<2）若点的坐标为<0，1），且∠=60º，试求所有满足条件的直线的函数解读式.<第13题）14．如图，△ABC中，，．点P在△ABC内，且，求△ABC的面积．<第14题）中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．A解：由于，，，所以2．B解：依定义的运算法则，有即对任何实数都成立.由于实数的任意性，得<）=<1，0）．3．C解：由题设可知，于是，所以，故，从而．于是．4．C<第4题）解：如图，连接，设，则，从而有．

5、由于，所以．5．A解：当时，由于，所以.于是有，故的整数部分等于4．二、填空题6．3＜m≤4解：易知是方程的一个根，设方程的另外两个根为，则，．显然，所以≥0，即，≥0，所以，≥0，解之得3＜m≤4.7．解：在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是.NW2GT2oy018．6解：如图，设点的坐标为，点的坐标为,则点的坐标为，点的坐标为由于点在双曲线上，所以．<第8题）由于，又由于，于是所以即9．解：由≥0，且≥0，得≤≤．．由于，所以当时，取到最大值1，故．当或1时，取到最小值，故．所以，．10．84解：

6、如图，设BC＝a，AC＝b，则＝1225．①<第10题）又Rt△AFE∽Rt△ACB，所以，即，故．②由①②得，解得a＋b＝49<另一个解－25舍去），所以．三、解答题11．解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得，两式相加得，即，所以或解得或又由于所以；或者，故，或29.12．证明：如图，延长交⊙于点，连接.由于为⊙的直径，<第12题）所以∠∠90°，故为⊙的直径.于是.又由于点为△的垂心，所以所以∥，∥，四边形为平行四边形.所以点为的中点.13．解：<1）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.设点的坐标为<0，），则点的坐标为<0，-）.设直线的函数解读式为,

7、并设的坐标分别为,.由<第13题）得，于是，即.于是又由于，所以.由于∠∠，所以△∽△，故∠=∠.<2）解法一设，，不妨设≥>0，由<1）可知∠=∠，=，=，所以=，=.由于∥，所以△∽△.于是，即，所以．由<1）中，即，所以于是可求得将代入，得到点的坐标<，）.再将点的坐标代入，求得所以直线的函数解读式为.根据对称性知，所求直线的函数解读式为，或.解法二设直线的函数解读式为,其中.由<1）可知，∠=∠，所以.故.将代入上式，平方并