全国初中数学竞赛试题及参考答案

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1、2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案一.选择题(5×7'=35')1.对正整数n,记n!=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是().A.0B.1C.3D.5【分析】时,!的个位数均为0,只考虑前4个数的个位数之和即可,1+2+6+4=13,故式子的个位数是3. 本题选C.2.已知关于x的不等式组恰好有5个整数解,则t的取值范围是().【分析】,则5个整数解是.注意到时,只有4个整数解.所以,本题选C3.已知关于x的方程恰好有一个实根,则实数a的值有()个.A.1B.2C.3D.4【分析】,下面先考虑增根:ⅰ)令,则,当时,(舍

2、);ⅱ)令,则,当时,(舍);再考虑等根:ⅲ)对,,当.故,共3个.本题选C.1.如图,已知△ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且BC=4CF,DCFE是平行四边形,则图中阴影部分的面积为().A.3B.4C.5D.6【分析】设底边上的高为,则,本题选D.2.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中,随机取出两个球,记下它们的标号,则较大标号被较小标号整除的概率是().【分析】本题选B.二.填空题(5×7'=35')3.设,b是a2的小数部分,则的值为.【分析】考虑到,则则4.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、

3、2、3、4、5、6.掷这个正方体三次,则其朝上的面的数的和为3的倍数的概率是.【分析】对第一次向上面为1时,后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111,114,123,126,132,135,141,144,153,156,162,165共12种;对于首次掷得向上的面是2,3,4,5,6的,后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的,故和为3的倍数共有,而总次数是次,则其概率为.8.已知正整数a、b、c满足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0,则abc的最大值为.【分析】先消去c,再配方估算.观察易知上式中,故,经试算,时,均不是整数;当时,,于是有,

4、故.8.实数a、b、c、d满足:一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a、b,一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c、d,则所有满足条件的数组(a、b、c、d)为.【分析】由根与系数关系知,然后可得(a、b、c、d)=(1,-2,1,-2)本题在化简过程中,总感觉还有,此处仅给出一组,好像不严谨,期待官方答案.9.小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元,园珠笔每支售7元,开始时他有铅笔和圆珠笔共350支,当天虽然没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2013元,则他至少卖出了支圆珠笔.【分析】设4元的卖x支,7元的卖y支,则令,则,又,即,即他至少卖了

5、207支圆珠笔.三.解答题(4×20'=80')11.如图,抛物线y=ax2+bx-3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OB=OC=3OA.直线与y轴交于点D,求∠DBC-∠CBE.【分析】易知,,作EF⊥CO于F,连CE,易知△OBC、△CEF都是等腰直角三角形,则△CBE是直角三角形.分别在Rt△OBD、Rt△BCE中运用正切定义,即有,则从而可得∠DBC-∠CBE=45º.12.如图,已知AB为圆O的直径,C为圆周上一点,D为线段OB内一点(不是端点),满足CD⊥AB,DE⊥CO,E为垂足,若CE=10,且AD与DB的长均为正

6、整数,求线段AD的长.【分析】设圆O半径为r,则由相似或三角函数或射影定理可知,,又由相交弦定理(考虑垂径时)或连AC、BC用相似或三角函数,易知①,而②令,①/②即,显然有,则,即,为正整数,故,又也为正整数,经逐一试算,仅当这一组是正整数,故.13.设a、b、c是素数,记,当时,a、b、c能否构成三角形的三边长?证明你的结论.【分析】a、b、c是素数,则为整数,则,为正整数.化简整理后,有ⅰ),不能围成三角形;ⅱ)综上所述,以a、b、c不能围成三角形.14.如果将正整数M放在正整数m左侧,所得到的新数可被7整除,那么称M为m的“魔术数”(例如,把86放在

7、415的左侧,得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数).求正整数n的最小值,使得存在互不相同的正整数a1,a2,...,an,满足对任意一个正整数m,在a1,a2,...,an中都至少有一个为m的“魔术数”.【分析】考虑到魔术数均为7的倍数,又a1,a2,...,an互不相等,不妨设,余数必为1、2、3、4、5、6,0,设,(),至少有一个为m的“魔术数”.因为(k是m的位数),是7的倍数,当时,而除以7的余数都是0,1,2,3,4,5,6中的6个;当时,而除以7的余数都是0,1,2,3,4,5,6这7个数字循环出现,当时,依抽屉原理,与m

8、二者余数的和至少有一个是7,此时被7整除,即n=7.

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