2000年全国初中数学竞赛试题及参考答案

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1、2000年全国初中数学竞赛试题及参考答案　　一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）　1．设ａ、ｂ、ｃ的平均数为Ｍ，ａ、ｂ的平均数为Ｎ，Ｎ、ｃ的平均数为Ｐ．若ａ＞ｂ＞ｃ，则Ｍ与Ｐ的大小关系是（）．Ａ．Ｍ＝Ｐ　Ｂ．Ｍ＞Ｐ　Ｃ．Ｍ＜Ｐ　Ｄ．不确定　2．某人骑车沿直线旅行，先前进了ａ千米，休息了一段时间，又原路返回ｂ千米（ｂ＜ａ），再前进ｃ千米，则此人离起点的距离ｓ与时间ｔ的关系示意图（图1）是（）．图1　3．甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁．那么（）．　

2、Ａ．甲比乙大5岁　Ｂ．甲比乙大10岁Ｃ．乙比甲大10岁　Ｄ．乙比甲大5岁　4．一个一次函数的图象与直线ｙ＝54ｘ＋954平行，与ｘ轴、ｙ轴的交点分别为Ａ、Ｂ，并且过点（－1，－25），则在线段ＡＢ上（包括端点Ａ、Ｂ），横、纵坐标都是整数的点有（）．Ａ．4个　Ｂ．5个　　Ｃ．6个　Ｄ．7个　5．设ａ，ｂ，ｃ分别为△ＡＢＣ的三边的长，且，则它的内角∠Ａ、∠Ｂ的关系是（）．Ａ．∠Ｂ＞2∠Ａ　Ｂ．∠Ｂ＝2∠ＡＣ．∠Ｂ＜2∠Ａ　Ｄ．不确定　6．已知△ＡＢＣ的三边长分别为ａ、ｂ

3、、ｃ，面积为Ｓ；△Ａ′Ｂ′Ｃ′的三边长分别为ａ′、ｂ′、ｃ′，面积为Ｓ′，且ａ＞ａ′，ｂ＞ｂ′，ｃ＞ｃ′，则Ｓ与Ｓ′的大小关系一定是（）．Ａ．Ｓ＞Ｓ′　Ｂ．Ｓ＜Ｓ′　Ｃ．Ｓ＝Ｓ′　Ｄ．不确定　二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）　7．已知ａ＝，那么3／ａ＋3／ａ2＋1／ａ3＝____．图2　8．如图2，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝8，ＢＣ＝6，∠ＢＣＤ＝45°，∠ＢＡＤ＝120°，则梯形ＡＢＣＤ的面积等于____．　　 9．已知关于ｘ的方程（ａ－1）ｘ2＋2ｘ－ａ

4、－1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数ａ有____个．图3　10．如图3，工地上竖立着两根电线杆ＡＢ、ＣＤ，它们相距15ｍ，分别自两杆上高出地面4ｍ、6ｍ的Ａ、Ｃ处，向两侧地面上的Ｅ、Ｄ，Ｂ、Ｆ点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳ＡＤ与ＢＣ的交点Ｐ离地面的高度为____ｍ．图4　 11．如图4，在直角坐标系中，矩形ＯＡＢＣ的顶点Ｂ的坐标为（15，6），直线ｙ＝1／3ｘ＋ｂ恰好将矩形ＯＡＢＣ分成面积相等的两部分，那么ｂ＝____．　12．某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6

5、.4%，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是____．　（注：利润率＝×100%）　三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）　13．设ｍ是不小于－1的实数，使得关于ｘ的方程ｘ2＋2（ｍ－2）ｘ＋ｍ2－3ｍ＋3＝0有两个不相等的实数根ｘ1，ｘ2．　（1）若ｘ12＋ｘ22＝6，求ｍ的值；　（2）求的最大值．图5　14．如图5，已知四边形ＡＢＣＤ的外接圆⊙Ｏ的半径为2，对角线ＡＣ与ＢＤ的交点为Ｅ，ＡＥ＝ＥＣ，ＡＢ＝ＡＥ，且ＢＤ＝2．求四边形ＡＢＣＤ的面积．　

6、15．一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次．对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层．问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼） 参考答案参考答案　  一、选择题　　　∴Ｍ＞Ｐ．　2．因为图Ａ没有反映休息所消耗的时间，图Ｄ没有反映沿原路返回的一段路程，图Ｂ尽管表

7、明了折返后ｓ的变化，但没有表示消耗的时间，所以上述三图均有误，故选Ｃ．　3．设甲现在ｘ岁，乙现在ｙ岁，显然ｘ＞ｙ，依题设，有　ｙ－（ｘ－ｙ）＝10，　　①　ｘ＋（ｘ－ｙ）＝25，　　②　②－①，得ｘ－ｙ＝5．　故选Ａ．　4．设ｙ＝5ｘ／4＋ｂ，由－25＝5／4×（－1）＋ｂ，得ｂ＝－95／4，∴　ｙ＝5ｘ／4－95／4．∴　有Ａ（19，0），Ｂ（0，－95／4）．　由ｙ＝5（ｘ－19）／4，0≤ｘ≤19，取ｘ＝3，7，11，15，19时，ｙ是整数．　因此，在线段ＡＢ上（包括端点Ａ、Ｂ）

8、，横、纵坐标都是整数的点有5个．选Ｂ．图6　5．由条件，得ａ2＋ａｂ＋ａｃ＝ａｂ＋ｂ2，即　ｂ2＝ａ（ａ＋ｃ），　∴ｂ／ａ＝（ａ＋ｃ）／ｂ．　如图6，延长ＣＢ至Ｄ，使ＢＤ＝ＡＢ，于是ＣＤ＝ａ＋ｃ．　在△ＡＢＣ与△ＤＡＣ中，∠Ｃ为公共角，且ＡＣ／ＢＣ＝ＤＣ／ＡＣ，　∴△ＡＢＣ∽△ＤＡＣ，∠ＢＡＣ＝∠Ｄ．　∵∠ＢＡＤ＝∠Ｄ，　故∠ＡＢＣ＝∠Ｄ＋∠ＢＡＤ＝2∠Ｄ＝2∠ＢＡＣ．选Ｂ．　6．构造△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′如下：　（1）作△ＡＢＣ