数量值函数的曲面积分

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1、第二节数量值函数的曲面积分(第一类曲面积分)一、概念的引入二、第一类曲面积分的定义三、第一类曲面积分的计算法一、概念的引入所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用“分割,取近似值,求近似和,求极限”的方法,可得求质量M.其中,表示n小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).二、第一类曲面积分的定义1.定义记为即注意：2.第一类曲面积分的存在性3.第一类曲面积分的性质1)第一类曲面积分具有线性性质,回顾:则按照曲面的不同情况,曲面面积元素分为以下三种：则则三、第

2、一类曲面积分的计算法当为xoy平面上的区域D时，即是D上的二重积分，定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有对面积的曲面积分的计算法则曲面积分证明:由定义知而(光滑)例1第一类曲面积分的计算法:例2例3则则2.若曲面可表示成y=y(x,z)的表面,计算例4设是四面体(2)计算2）解:设上的部分,则原式=分别表示在平面小结(第一类曲面积分计算):则按照曲面的不同情况分为以下三种：则则说明：例5注：例5.计算其中是介于平面之间的圆柱面分析:若将曲面分为前后(或左右)则解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.练习：求椭圆柱面位于xOy面上方及平面z=y下方那部分柱面的

3、侧面积S.解:取4.利用对称性简化计算：补充:P225.1(10)设在第一卦限中的部分,则有().(2000考研)例1.计算其中是球面利用轮换对称性可知解:四、几何与物理意义例1.求半径为R的均匀半球壳的重心.解:设的方程为利用对称性可知重心的坐标而用球面坐标解依对称性知：例2解（左右两片投影相同）例3解五、小结2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.1、对面积的曲面积分的概念;（按照曲面的不同情况分为三种）思考题在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义.思考题解答是曲面元的面积,故是曲面法线与轴夹角的余弦的倒数.练习题练习题答案