向量值函数在定向曲线上的积分

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1、第三节向量值函数在定向曲线上的积分(第二类曲线积分)二、问题的提出四、第二类曲线积分的计算三、第二类曲线积分的概念一、定向曲线及其切向量一、定向曲线及其切向量1、带有确定走向的曲线称为定向曲线用表示起点为A,终点为B的定向曲线(弧).2、定向光滑曲线上各点处的切向量的方向总是与曲线的走向相一致.一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xOy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“(分割)大化小”“(近似)常代变”“(求和)近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.1)“(

2、分割)大化小”.2)“(近似)常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F沿则用有向线段上任取一点在3)“(求和)近似和”4)“取极限”(其中为n个小弧段的最大长度)2.定义.设L为xOy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在定向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为向量值函数或第二类曲线积分.在L上定义了一个向量函数极限记作称为对坐标x的曲线积分;称为对坐标y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作二、问题的提出实例:变力F沿曲线L所作的功常力所作的功分割三、第二类曲线积分的概

3、念1.定义记为：即：则：3.第二类曲线积分存在的充分条件：4.第二类曲线积分的性质1)第二类曲线积分具有线性性质2)对于定向积分曲线弧的可加性即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.二、第二类曲线积分的计算定理基本思路:计算定积分转化求曲线积分特殊情形例1解一：例1解二：说明：2)第二类曲线积分也是化为定积分进行计算，但此时定积分的上、下限要根据题目中给定的定向曲线弧的起点和终点来选定，下限不一定小于上限.3)计算第二类曲线积分时，由于涉及到积分曲线的定向问题，要慎用对称性.一般地，在曲线积分化为定积分后再对定积分考虑能否用对称性简化计算.例2解:(1

4、)L的参数方程为则(2)L的方程为则被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.解例2概念与性质可以推广到空间曲线概念与性质可以推广到空间曲线例4解例5解:曲线的参数方程为例6解:曲线C的参数方程为例7三、两类曲线积分之间的联系：其中（可以推广到空间曲线上）例解L的方程为原式四、小结1、第二类曲线积分的概念2、第二类曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系思考题思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.练习题练习题答案