向量值函数在定向曲面上的积分

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1、第五节向量值函数在定向曲面上的积分(第二类曲面积分)一、第二类曲面积分的概念与性质二、第二类曲面积分的计算法一、第二类曲面积分的概念与性质1、定向曲面及其法向量观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧能区分出曲面的侧的曲面叫做双侧曲面.(1)曲面的分类:1)双侧曲面;2)单侧曲面.典型双侧曲面•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)莫比乌斯带典型单侧曲面:播放莫比乌斯带典型单侧曲面:典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯

2、带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带在双侧曲面上选定某一侧，这种选定了侧的双侧曲面称为定向曲面.用∑表示选定了某个侧的定向曲面，则选定其相反侧的定向曲面用∑－表示.注意：∑与∑－是不同的曲面.(2)定向曲面由方程z=z(x,y)表示的曲面分上侧和下侧，由方程x=x(y,z)表示的曲面分前侧和后侧，由方程y=y(z,x)表示的曲面分左侧和右

3、侧，封闭曲面分内侧和外侧.曲面法向量的指向决定曲面的侧.规定:定向曲面上任一点处的法向量的方向总是指向曲面取定的一侧.类似地：其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧侧的规定指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:定向曲面的投影:2、引例实例:流向曲面一侧的流量.2、引例实例:流向曲面一侧的流量.1.分割则该点流速为.法向量为.3.求和2.取近似值4.取极限若记则3、第二类曲面积分的定义4.第二类曲面积分的另一种表达式简称yz型积分简称zx型积分简称xy型积分5.若是封闭曲面，则在上的第二类曲面积分可记为6

4、.第二类曲面积分存在的条件:7.物理意义:流速为的流体，在单位时间内流向Σ指定侧的流量.8.第二类曲面积分的性质:即第二类曲面积分与积分曲面的方向有关.1)线性性质3)设的反侧曲面记为，则：二、第二类曲面积分的计算法1.分面投影法(分三个积分进行计算)简称yz型积分简称zx型积分简称xy型积分下面计算xy型积分4.第二类曲面积分的另一种表达式(上正下负)“一投,二代,三定号”(前正后负)(右正左负)解解注意:1.2.计算第二类曲面积分,还必须注意曲面所取的侧.3.解=1+2+3+4+5，其中1：z=0，Dxy：x2+y21，x0，y0，

5、取下侧，2：x=0，Dyz：0y1，0z1，取后侧，3：y=0，Dxz：0x1，0z1，取左侧，4：z=1，Dxy：x2+y21，x0，y0，取上侧，5:x2+y2=1，Dxz：0x1，0z1，取外侧.两类曲面积分之间的关系：2.合一投影法(适用于定向曲面上各点处的法向量有统一的表达式)解：原式解3.化为第一类曲面积分计算(一般适用于积分曲面是定向平面)是平面在第四卦限部分的上侧,计算提示:求出的法方向余弦,转化成第一类曲面积分三、小结1、物理意义2、计算时应注意以下两点曲面的侧“一投,二代,三定号”思考题思考题解答此时的左

6、侧为负侧，而的左侧为正侧.练习题练习题答案