数学物理方程课件第二章1分离变量法

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1、第二章分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。令带入方程：令带入边界条件1求两端固定的弦自由振动的规律一有界弦的自由振动特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条件

2、下的求解问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：1）2）3）令，为非零实数▪分离变量▪求特征值和特征函数▪求另一个函数▪求通解▪确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。2解的性质x=x0时：其中：驻波法t=t0时：例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦作微小横向振动时的位移。解：弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。解：例2求下列定解问题初始条件若l=1,a=10时的震动。例3求下列定解问题解：例4求下列定解问题令带入方程：解：二有限长

3、杆上的热传导令带入方程：解：令令带入方程：令例5求下列定解问题解：例6求下列定解问题解：若则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考若有界杆上的热传导（杆的两端绝热）分离变量流程图三拉普拉斯方程的定解问题1直角坐标系下的拉普拉斯问题解：例7求下列定解问题解：例8求下列定解问题解：2圆域内的拉普拉斯问题欧拉方程例9求下列定解问题解：欧拉方程令例10求下列定解问题解：欧拉方程令其它为零例12求下列定解问题解：欧拉方程其他为零例13求下列定解问题解：例13求下列定解问题解：例14求下列定解问题解法一：令解法二：令常用本征方程齐次边界条件