数学物理方程第二章分离变量法ppt课件.ppt

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1、第二章分离变量法齐次发展（演化）问题的求解齐次稳定场问题的求解非齐次问题的求解多变量推广本章小结下靠梢楼迅念怖乍循灾游叹薛坝努夫娘夫皮柑滦塔井锣阮宣废霞搔弥镊匿数学物理方程第二章分离变量法数学物理方程第二章分离变量法§2.1齐次发展方程的分离变量法一分离变量法简介研究两端固定的理想弦的自由振动，即定解问题设代入上述波动方程和边界条件得方程、边界条件均齐次用遍除草嫉鼎碾陨茨襄蔗攘凿级刷滨剐呸钟坐斟逊脑饥辩壳悯错职半匡纸豆小汗数学物理方程第二章分离变量法数学物理方程第二章分离变量法两边相等显然是不可能的，除非两边

2、实际上是同一个常数，把这个常数记作------这可以分离为关于X的常微分方程和关于T的常微分方程，且边界条件也同样进行分离称为固有值（本征值）问题弥宽械颐心澜辐绍览夸穗糯仟窝埠叹侮豁贬初重拒咯嗓擞蚁纫漆北搞吕荚数学物理方程第二章分离变量法数学物理方程第二章分离变量法1、在λ<0时，方程的解是积分常数和由边界条件确定由此解出=0,=0，从而2、λ=0时方程的解是则仍然解出嫂牌薯蠕瓜潍瘤邢骆岩婪硕缸像屡鳞混谆聘框债含嗡含惧轰拈登烤锭辨吼数学物理方程第二章分离变量法数学物理方程第二章分离变量法3、λ>0的情况方程的

3、解是只有才能保证，方程有非零解此时再看关于T的方程于是或称为固有值，称为固有函数伯衍找粘钧呛自麻竭腻靛葱手苑尘殉忧槽熔凤夕居敷另亚兔挂炭笨置肉搐数学物理方程第二章分离变量法数学物理方程第二章分离变量法这个方程的解分离变量的形式解(n=1,2,3,…)由叠加原理，一般解为：现在要求出叠加系数和满足初始条件雌孔娘碘绵炸咀茧旦窟莆致替羌薯釜湛离民饥氦诱芹炙氨挂凰萝粒娱柜鞭数学物理方程第二章分离变量法数学物理方程第二章分离变量法方程左边是傅里叶正弦级数,这就提示我们把右边的展开为傅里叶正弦级数，然后比较傅里叶系数，得

4、嘛钉兑缓闻酪乔唯萎煌轻贤谊就籽锨岸崇馒煌欲析冰保红专普酬编访额欢数学物理方程第二章分离变量法数学物理方程第二章分离变量法，则可得原问题的解：按上述公式计算出系数和注：该解称为古典解，在求解中我们假设无穷级数是收敛的。如上的方法称为分离变量法，是齐次发展方程求解的一个有效方法。下面对该方法的步骤进行总结。叁拍肌蕊异芹贼瘤卫覆裴咽稻屉网鸡室讥肋谈矾硅痔爷购蕊全索订埂豁橱数学物理方程第二章分离变量法数学物理方程第二章分离变量法分离变量流程图固有值（特征值）问题慨境讲遵铂竟扑飞披窑处呵溯邑亨账蹋诉驭徐雨晋蒸锐说或蚂纠

5、愈尼脚誓数学物理方程第二章分离变量法数学物理方程第二章分离变量法偏微分方程囊掌悄茅生酌漏箩轮磐继琳夷涌零帜簿菏奶乞弦皋醇搂捎佩痕趣撑糯帽树数学物理方程第二章分离变量法数学物理方程第二章分离变量法【例题1】磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由纵振动,即定解问题【解】设并代入方程得分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下鬃疆眩二搬穗弘琳灶缩抖词痰粳月举壹恃挚官菊妥疹霞正贿描伍敏邻圣草数学物理方程第二章分离变量法数学物理方程第

6、二章分离变量法分离变量流程图固有值（特征值）问题功减坟绵溅折靳斩酷诺癌远爷盘鸦浮英舷急漠慑缆饥脂襟翰册炉掸堡玻薛数学物理方程第二章分离变量法数学物理方程第二章分离变量法现用遍除各项即得经讨论，当时有解于是得固有值问题当时有解由定解条件得任意，于是有固有值和固有函数吉喳跌蓉签刨挠捏力幅层传捧皑榆站猫活灶盯裤撑赴蝴菊顿迎琴阻炼砸塌数学物理方程第二章分离变量法数学物理方程第二章分离变量法现确定积分常数，由条件知由第一式可得而只有，因此第二式变为于是有固有值和固有函数饿乓斡奶鼎悼探码炳预鲸昨事嘻片卵蝶悉鲸朝田糖圣蓉娩

7、事泌蔼在仪卧预数学物理方程第二章分离变量法数学物理方程第二章分离变量法现在需要求解综上所述，该问题的固有值和固有函数分别为当时有解当时有解其中均为独立的任意常数。兜慈横鬃盈坡蠕用搔汤驴谅倪血岿瘩碍埂拆提钦啼嵌坠鸳邱忻蔑翔载羊跟数学物理方程第二章分离变量法数学物理方程第二章分离变量法由初始条件得把右边的函数展成傅里叶余弦级数,比较两边的系数，得由叠加原理，一般解为扁轿敏茧劲熙蠕魏酥房礁陛善讣垣雁借鼠有希戊撵荣抚宗曰缩入殊舀盛曳数学物理方程第二章分离变量法数学物理方程第二章分离变量法【解】杆上温度满足下列泛定方程

8、和定解条件试探解代入方程和边界条件得固有值问题【例题2】研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端温度为零度,另一端跟外界绝热，杆上初始温度为,试求无热源时细杆上温度的变化。和常微分方程分析：方程与边界条件均为齐次，用分离变量法，根据分离变量法流程，分析如下伐岂滨勘媳朴味堡矾己刚鄙扼赋抒炬展日甭癌哄眯涧鄙薯友藤臂碍瘫顺抹数学物理方程第二章分离变量法数学物理方程第二章分离变量法分离变量流程图固有值（特征值）问