数学物理方程--- 2 分离变量法

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1、本章中心内容第2章分离变量法我把数学看成是一件有意思的工作,而不是想为自己建立什么纪念碑。可以肯定地说,我对别人的工作比自己的更喜欢。我对自己的工作总是不满意。---拉格朗日用分离变量法求解各种有界问题；分离变量法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件而构成本特征值问题2.1特征值问题2.1.1矩阵的特征值问题矩阵的特征值问题设A为一n阶实矩阵，其特征值满足一般来说，特征值和线性无关的特征向量不多于n个。任意n阶矩阵都有n个线性无关的广义特征向量，以此n个线性无关的广义特征

2、向量作为的一个新基，矩阵就能够化为约当标准型。实对称矩阵对角化若A为一n阶实对称矩阵，存在正交阵T使得其中为实对角阵。设则（2）可以有如下形式或可以看出，正交阵T的每一列都是实对称阵A的特征向量，并且这nn个特征向量是相互正交的。定理1n阶实对称阵特征值全为实数且可以正交对角化。特征值问题做线性问题求解中具有重要意义，下面举例说明。为简化问题，下面例子中，假设A为n阶非奇异阵，且有n个线性无关的向量。例1设，求解线性方程组解A的n个线性无关的特征向量可以作为的一个基。将x，b按此基展开为，则等价于或由于线性无关，比较系数有则为原问题的解。例2设求解非齐次常微分方程组其

3、中为已知向量函数，解和例1相似，将按基分别展开则（4）等价于化为n个一阶线性方程组的初始值问题，最后再带回2.1.2一个二阶线性微分算子的特征值问题实对称矩阵A换为二阶微分算子A，一般取下面讨论二阶线性微分算子的特征值问题。边界条件，设是A的特征函数，即且满足等价于对此特征值问题求解。首先证明非负。因为积分得第一项分部积分，得故有当时，方程的通解为，利用边界条件可得因此，不是特征值。当时，方程的通解为利用边界条件，确定常数即有所以所以，可得故，特征值问题（7）的解为2.2分离变量法对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该具备什么条件？对于任何二阶线性（齐次）偏微分方程

4、通过适当的自变量变换转化为下列标准形式：假设：标准形式的解有下列分离的形式其中分别是单个变量的二次可微函数。代入标准形式即有讨论:1.常系数偏微分方程若（*）的系数均为常数，并分别用小写的代表，将方程两边同除以XY,则1.常系数偏微分方程讨论:若原方程的系数均为常数，并分别用小写的代表，将方程两边同除以XY,则要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于x,也不依赖于y的常数，记为，从而得到两个常微分方程2.变系数偏微分方程对于变系数函数，假设存在某一个函数，使得方程除以后变为可分离的形式上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为，从而得到两个常微分方程由以上讨论知道：

5、对于常系数二阶偏微分齐次方程，总是能实施变量分离需要满足一定的条件，即必须找到讨论2中适当的函数才能实施变量分离．但对于变系数的二阶偏微分齐次方程第一类边界条件第二类边界条件边界条件可实施变量分离的条件一维的情形（设在边界点处），常见的三类边界条件为第三类边界条件假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界条件为齐次的：可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变量未知函数的边界条件．此外，进行分离变量时，还须根据具体情况确定直角坐标系，球坐标系以及柱坐标系．求定解问题的不恒等于零的解须因此得例1求解两端固定弦振动方程的混合问题泛定方程：边界条件：初始条件：对于确定的频

6、率，解是驻波：波腹波节每一点绕平衡位置振动振幅随位置变化驻波解：这是解的分离变量182.2.1齐次边界弦振动方程定解问题解分四步求解第一步分离变量，求解特征值问题。即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出该问题的特征值问题并求解。令，带入到对应的齐次方程中得到或左右只能为常数，记为，则有由第一个方程可得由齐次边界条件即又不恒等于0，可得第一个问题可以化为其解为特征值特征函数第二步正交分解过程。即将初始条件函数，自由项以及u(x,t)用特征函数系表出。这里而下面来求。第三步待定系数法。即先将的级数带入原方程中，导出关于满足的的常微分方程。再利用初值条件求的初始条件

7、。假设可逐项求导，并将带入泛定方程中，可得即比较系数有由令t=0，有比较系数，有同理比较系数，有所以有第四步求解上面的定解问题，结果代入对齐次方程其通解为对应的非齐次方程利用常数变易法，其解具有这样的形式由初始条件代入上面的式子，可得代入可得又所以（4）有初始条件确定通解系数（傅立叶展开）注1分离变量法概要：（1）将齐次偏微分方程分为若干常微分方程（2）参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题（3）将特征解叠加无穷级数，给出通解31注2对齐次问题记令则简谐波在弦上固定一点x，则表述了一个振幅为，频率为，初相位为的简谐振动。就整个弦来说，这个简谐波有