《数学物理方程》第2章 分离变量法

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1、适用于双抛椭型的混合问题和边值问题非齐DE非齐BC非齐DE齐次BC§1齐次DE齐次BC的求解特征函数一双曲型方程－有界弦的自由振动1定解问题2求解步骤第2章分离变量法1)分离变量偏→常设定解问题有形如u(x,t)=X(x)T(t)的非零解代入DE得代入BC得2)求非零解X(x),T(t)特征值问题特征值使(*)有非零解的的值特征函数相应的非零解X(x)X(x)=0.只有零解当B≠0，时X(x)有非零解有无数个特征值注4)确定系数Cn、Dn注1.分离变量法(特征函数法)解得按特征函数系展开的级数解,每一项都满足DE和齐次BC5

2、)综合只求形式解物理上总假设两种运算可以交换次序:注2.系数为t的函数,是(**)的特解,整体满足IC0初始条件可以在第2步代入非0初始条件必须在第4步代入3.特征函数由两端BC的类型决定例1解若有现成的特征函数可直接写出‘通解’BC:左1右2例2解3物理意义称驻波2)求X(x)和T(t)的非零解1定解问题2特征函数二抛物型方程－有界杆的无热源热传导BC:左1右31)设u(x,t)=X(x)T(t)代入BC得代入DE得无法求出精确值注2特征函数1定解问题三椭圆型方程－周期条件圆域内Laplace方程作业ex2-5,6,12,

3、17第6题要求写出1-4全部步骤，其余可以只写步骤3和4例3解§4非齐DE齐次BC的特征函数法解1)相应齐次DE问题特征函数系一特征函数法例12)所有函数展开成特征函数系的级数用常数变易法得例1’解例2解作业ex2-9解例3例4解二特解法例5解观察出满足DE和齐次BC(或PC)的一个特解,使问题转化为齐次DE.避免特征函数法一可转化为齐次DE的情况定解问题§1的问题§5非齐BC的齐次化二转化为非齐DE的情况定解问题所以§4的问题令其它类型BC的情况例1解由§1例2解作业ex2-10,18求相应齐次问题特征函数系展开2.首先看

4、边界条件齐次或周期条件？若否:按第5节选w,转化为v的齐次BC或周期条件问题3.对齐次或周期条件的非齐次DC问题，用特征函数法1.适用于各类方程简单区域的混合问题与边值问题(x,t)坐标系:00直角坐标系:00极坐标系:圆、圆环、扇形分离变量法(特征函数法)求解小结