换元法(或称凑微分法

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1、一、第一换元法(或称凑微分法)第四章　不定积分第二节　换元积分法二、第二换元法引例(因为d(3x)=3dx).一、第一换元法(或称凑微分法）令u=3x，则上式变为那么，也就是说上述结果正确.一般地，能否把公式定理1回答这个问题.定理1(第一换元法)且u=j(x)为可微函数，①证已知F(x)=f(x)，u=j(x)，则所以则用上式求不定积分的方法称为第一换元法或称凑微分法．定理1常写成：①①式就是把已知的积分中的x所以说把基本积分表中的积分变量换成可微函数j(x)后仍成立.其中u=j(x)可微.换成

2、了可微函数j(x).例1求解对照基本积分表，如果把dx写成了d(3x+2)，那么就可用定理1及为此将dx写成代入式中，那么令3x+2=u则a,b均为常数，且a0.例2求解上式与基本积分表中相似，为此将dx写成那么令4x+5=u，例3求解上式与基本积分表中为此将dx=d(x+1)代入式中，那么例4求(a>0常数).解上式与基本积分表例5求(a>0常数).解等等.例6求解将被积分式中的xdx因子凑微分，则经求导验算，结果正确.即即例7求解凑微分，即则例8求解解例10求例11求解3.利用三角函数的恒等式

3、.例12求解例13求解例14求解例15求解例16求解4.利用代数恒等式例17求(a>0常数).解例18求解例19求解例20求解例21求解二、第二换元法定理2(第二换元法)设函数f(x)连续，函数x=j(t)单调可微，且j(t)0，则1.简单根式代换例22求解为了去掉被积函数中的根号，则dx=2tdt，于是有回代变量，得例23求解被积函数含根式为了去掉根号，于是有则dx=4t3dt，回代变量，得例24求解为了去掉被积函数中的根号，于是有2.三角代换例25求于是有解≤≤则dx=acostdt，把变量

4、t换为x.为简便起见，画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图.于是有xat例26求解则dx=asec2tdt，于是有作辅助三角形，得axt其中C=C1-lna.例27求解令x=asect，则dx=asecttantdt，于是有作辅助三角形，axt得其中C=C1–lna.作三角代换x=asint或x=acost；作三角代换x=atant或x=acott；作三角代换x=asect或x=acsct.例28求解法一　三角代换法.令x=tant，于是得则dx=sec2tdt，根据tant=x，作辅助三角形，

5、得1xt=ln

6、csct–cott

7、+C解法二　凑微分法.于是有解法三　根式代换法.于是有例29求解