100以内数的平方速算法

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1、100以内数的平方速算法九零年的时候，十四岁的我正在镇（那时还叫“乡”）上的一所附属中学读初中二年级。记得数学（那时叫做“代数”）课上，老师要求我们把1～30这30个数的平方数记熟记牢，以便用到时能脱口而出。对于那时的我来说，之后的课余时间，除了完成课外作业、记英语单词外，就是记这30个的平方了。当然，1～10这十个数的平方很容易，不需要死记，而从11～30这二十个数的平方数就得死记硬背了。对于那时记忆力差的我来说是想当不易的。刚开始的几天里，自己觉得还可以记住几个，如11的平方等于121,12的平方等于144,13的平方是169，但随着数的增多，也就记不

2、住了。后来便出现了无论自己怎么读记，都记不全那二十个数的平方数，甚至会把它们混淆起来，而其他同学则不然。我想是那时的我记忆力差的缘故吧！“记不住就不计了吗？”我自问，“不行，一定要记住，那怎么记？有没有较简单的方法来记忆呢？”于是，我便对11～30这二十个数的平方进行了“研究”。首先，我把这二十个数的平方数通过笔算得出来：＝121，＝144，＝169，……，＝748，＝841，当然＝900是不需要死记硬背的。其次，再来比较平方数与各自的底数之间到底有何关系。从11、12、13这三个数的平方数中不难发现：平方数末位的1、4、9分别是11、12、13末位的平方

3、，而平方数的前两位12、14、16分别与底数11、12、13比较，似乎是由11＋1＝12、12＋2＝14、13＋3＝16所得，那也就是说＝（11＋1）×10＋，＝（12＋2）×10＋。如若这样，那15、16、17等数的平方也应如此。经过验证，14～19六个数的平方的确如此：＝（14＋4）×10＋，……，＝（19＋9）×10＋。再看＝400与（20＋2）×10＋＝200不相等，＝441与（21＋1）×10＋＝221也不相等，同样＝484与（22＋2）×10＋＝244还是不相等。那400与200,441与221,484与244各自之间有何差别呢？仔细观察后发现

4、：它们的平方数的前两位数正好是上述方法求得数前两位的2倍，末位相同。这样便有：＝2（20＋0）×10＋，＝2（21＋1）×10＋，＝2（22＋2）×10＋，同样可得23～29各数的平方：＝2（23＋3）×10＋，……，＝2（29＋9）×10＋。如此一来，前面的10～19这十个数的平方也就可以表示为＝1（10＋0）×10＋，……，＝１（19＋9）×10＋。那么，根据上面的结果是否可以猜想30～39这十个数的平方数的求法，只需要把上法中前面的因数换成3就行了呢。经验证确实如此：＝3（30＋0）×10＋，＝3（31＋3）×10＋，……，＝3（39＋9）×10＋。

5、同样可得40～49这十个数的平方数的速算法，如＝4（43＋3）×10＋，也可以得到50～99各数的平方数的速算法，如＝7（78＋8）×10＋。其实，整十数的平方数不必这样算。为此，那时老师布置的任务就很容易完成了，也不需要死记硬背了。综上所述，若Ａ、Ｂ均为一位数，那100以内数的平方可表示为,按上述速算法等于Ａ(10Ａ＋Ｂ＋Ｂ)×10＋,将其化简变形后为100＋20ＡＢ＋,这个结果正好是的完全平方展开式。“哇，这么巧合，我发现的100以内数的速算法竟和完全平方公式一样！”我暗自欣喜，这样便证明了我的发现是正确的。得到这样的速算结果，连我自己都感到意外，而究

6、竟是如何得出的，当年我也说不清楚，只觉是误打误撞而已，究其缘由，更是不得而知。因此当时也就搁下了此事。直到九九年我参加工作成为一名初中数学老师后，才又拿出这搁置了八九年的问题来研究。途中由于多种原因，又将此事搁置了十多年，直至近些日子才来研究，终于对二十多年前的发现做出了解释。事实上，100以内数的平方速算法对于求100以上数的平方也是适用的，只不过是数字较大，不大体现得出速算的效果，只能作为求平方数的另一种方法而已，比如：＝12（123＋3）×10＋＝15129，＝235（2356＋6）×10＋＝5550736。这种算法可用文字表述为：一个Ｎ位数的平方，

7、等于它的前（Ｎ－１）位数乘这个Ｎ位数与它的末位数的和的10倍，再加上它的末位数的平方。当然，在此我要申明：这里所说的速算只是相对的，而不是绝对的。相对于笔算来说，它比笔算要快些，但又比珠心算中的“首同尾合十”的两位数乘两位数的算法要慢，毕竟“首同尾合十”的两位数与两位数相乘的算法只是一种特例，它只适用于十位相同、个位和为十的两个两位数相乘，而我的这种算法是普遍规律，适用于求任何自然数的平方。