微积分基本公式(V)

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1、二、积分上限的函数及其导数（P269）设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意的x()，积分存在，且每给定一个x()就有一个确定的积分值与之对应，所以上限为变量的积分是上限为变量x的函数，记作Φ(x).注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念，在积分的过程中，上限x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间变化的，§5—2微积分基本公式因此常记为即Φ(x)=定理1证明由积分中值定理有结论：变上限积分所确定的函数对积分上限x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此

2、有着密切的联系，因此我们可以通过求原函数来计算定积分.定理2如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数Φ(x)=是f(x)在[a,b]上的一个原函数.定理3（牛顿—莱布尼兹公式）三、牛顿—莱布尼兹公式（P217）证明∵F(x)是f(x)的一个原函数，而Φ(x)=也是f(x)的一个原函数，如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则∴F(x)－Φ(x)=C，Φ(x)=F(x)－C.即令x=a,得Φ(a)=F(a)－C.上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.由于Φ(a)=所以F(a)=C,即再令x=b得由于定积分的值只与被积函数和积分区间有

3、关，而与积分变量无关，所以有公式问题得证.牛顿－莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便的计算方法：在求定积分的值时，只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题.例1求解由于是被积函数x2的一个原函数，所以按牛顿—莱布尼兹公式，有例2求解由于arctanx是被积函数的一个原函数，所以例3求解例4求解例5计算，其中当≤1当＞1解作业习题5—2P2741(1)P2754(1)(3)(5)(7)(9)(10)5(1)(3).