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时间:2019-08-02
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1、二、积分上限的函数及其导数(P269)设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则对于任意的x(),积分存在,且每给定一个x()就有一个确定的积分值与之对应,所以上限为变量的积分是上限为变量x的函数,记作Φ(x).注意:积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念,在积分的过程中,上限x是固定不变的,而积分变量x是在下限与上限之间变化的,§5—2微积分基本公式因此常记为即Φ(x)=定理1证明由积分中值定理有结论:变上限积分所确定的函数对积分上限x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).由上述结论可知:尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同,但彼此
2、有着密切的联系,因此我们可以通过求原函数来计算定积分.定理2如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数Φ(x)=是f(x)在[a,b]上的一个原函数.定理3(牛顿—莱布尼兹公式)三、牛顿—莱布尼兹公式(P217)证明∵F(x)是f(x)的一个原函数,而Φ(x)=也是f(x)的一个原函数,如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则∴F(x)-Φ(x)=C,Φ(x)=F(x)-C.即令x=a,得Φ(a)=F(a)-C.上式称为牛顿-莱布尼茨公式,也称为微积分基本公式.由于Φ(a)=所以F(a)=C,即再令x=b得由于定积分的值只与被积函数和积分区间有
3、关,而与积分变量无关,所以有公式问题得证.牛顿-莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便的计算方法:在求定积分的值时,只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x),然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题.例1求解由于是被积函数x2的一个原函数,所以按牛顿—莱布尼兹公式,有例2求解由于arctanx是被积函数的一个原函数,所以例3求解例4求解例5计算,其中当≤1当>1解作业习题5—2P2741(1)P2754(1)(3)(5)(7)(9)(10)5(1)(3).
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