微分方程数值解(I)

《微分方程数值解(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、微分方程数值解第一章常微分方程初值问题的数值解法§1.1引言1.我们在《高等数学》一书中学到的常微分方程，都是求出其解析解。但实际问题中，找出解析解难度非常大，对大部分问题甚至是不可能的。因此就要想法求出其数值解。2.我们本章主要研究常微分方程初值问题的主要数值解法，包括基本方法和基本理论问题。3.研究常微分方程初值问题的形式。①一般情况下，我们总是认为这个初值问题的解存在，唯一且连续依赖于处置条件。即①式是适定的。§1.2欧拉方法（Euler方法）1.数值求解常微分方程数值问题①的最简单方法是欧拉法。又称折线法。推导如下:得求如图1.1曲边梯形的面积最直接的方法就是用矩形面积代

2、替整个曲边梯形面积。则则有依次：令则{n=0,1,2……②这就是欧拉方法的计算公式。称为积分步长2.式②也可以用泰勒级数去掉高阶导数项得到（注：把在处展开）去掉高于一阶导数的项，得由注：几何意义：以折线代替曲线一般并不要求步长相等3.例1.以h=0.1为步长，用欧拉法求初值问题.{的数值解，并与精确解比较解：由欧拉法有：{计算结果见表1.1注:⑴,使用欧拉法数值求解过程非常简单，无需迭代方法求解任何方程，因此，也称其为显式格式⑵，由欧拉方程输出的解与计算机输出的不是一回事，是的近似解，因为计算机所能进行的是有限位二进制运算，有舍入误差与系统误差存在。4.为了使计算得到的解是的好的

3、近似解要求：时，（即是的好的近似值）时，（即是的好的近似值）为简化讨论，我们设想，计算机不会产生舍入误差，计算相当精确，的值完全由决定，则要求欧拉格式解对初始值多有连续依赖性，这种解对初值的连续依赖性就称为稳定性。①称为格式的收敛性问题②称为格式的稳定性问题5.收敛性研究定理1.1定理1.2定理1.36.稳定性研究定义1.1如果存在正常数c及，使对任意初始值，，用与计算所得之解满足估计式则称欧拉法稳定定理1.4§1.3梯形法.隐式格式的迭代计算1.上节利用矩形来近似曲边梯形，现在利用梯形来近似可得梯形公式：显然是一个隐式格式.2.现估计其局部截断误差阶，我们假定和解充分光滑见书本

4、前面已经指出，梯形法是一个隐式格式①如何求解，我们采取迭代法，其格式如下：②初始猜测为证迭代法的收敛性，将②-①得其中，为关于的Lipschitz常数∴可见，当且迭代次数相当多时，则相当少，因此是梯形法跌带格式②收敛的充分条件在实际计算时，令，有下面的预报校正格式预报格式校正格式当然也可迭代多次：预报格式校正格式§1.4一般单步法。Runge-kutta格式前面，我们研究了欧拉法和梯形法，它们有一个共同的特点，即在格式中只包括的值。此种格式称为单步格式。1.泰勒级数法构造单步法的方法.设初值问题的解阶可微，将在点展开为泰勒级数，有由方程可得：因此，推导过程：其中：舍去，可得称为一

5、般单步法，显然局部截断误差所以，局部截断误差为时，得欧拉法2.一般单步法的基本理论定义1.1见课本定义1.2定理1.5定理1.63.Runge-kutta格式从前面的结论可见，构造高阶单步法的关键在于构造，使中的局部截断误差阶尽可能高。若利用泰勒级数法有：此时有：要求在出的值，比较麻烦，如果用泰勒法推导高阶格式需要求更多的偏导数，计算繁杂＊梯形预报校正格式预报格式校正格式由此可写成其中：则此时从，单步法可以分两级进行①计算②计算最后计算可以证明这个格式的局部截断误差阶为，省去了求偏导数。我们称它为二级二阶Runge-kutta法;此法通用格式：适当选择参数使局部截断误差由因此要满

6、足：解不唯一;（未知数个数大于方程个数）4.各级各阶Runge-kutta法⑴取则，即得二级二阶Runge-kutta法⑵取则，由此得算式为：⑶取，则有以上两式均为二级二阶Runge-kutta法三级三阶Runge-kutta法：适当选取参数使局部截断误差见书本特例如下：⑴令则故⑵令解得故有Heum三级三阶Runge-kutta算法同样可以设计四级四阶Runge-kutta格式①经典四级Runge-kutta格式取则得②取，则得另一Runge-kutta公式由此可见，四级四阶Runge-kutta法的确可计算出高精度的解，并且无需求各阶偏导数误差控制和Runge-kutta-Fe

7、hlberg法1.逼近初值问题的解的理想单步格式我们最终的目的是①选用尽可能大的步长h（等间距的话是使得网络点尽可能的少）②2.一般说来，即使格式是稳定的，要由计算结果来确定格式的整体截断误差是不可能的。以欧拉格式为例：给出一个局部误差估计的技术其局部截断误差是，其中而梯形法的局部截断误差是。如果那么所以但是，而是，所以的主部必须约等于；因此，可以作为欧拉法的局部误差的近似值3.局部截断误差的估计值确定用于控制整体截断误差的最佳步长对于初值问题：假设有两个逼近初值问题的单步格式。